福建省福州市2020届高三理数质量检测试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合M＝ ${x | x^{2} \leq 4}$ ，N＝{x|2^x＜4}，则M∩N＝（）

A、 ${x | x \leq - 2}$ B、 ${x | - 2 \leq x < 2}$ C、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 设复数z满足|z+1|＝|z-i|，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）

A、x＝0 B、y＝0 C、x-y＝0 D、x+y＝0

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3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1．粗线画出的是某三棱帷的正视图、俯视图，则该三棱锥的体积为（）

A、81 B、27 C、18 D、9

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4. 2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）

A、甲的物理成绩领先年级平均分最多 B、甲有2个科目的成绩低于年级平均分 C、甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史 D、对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果

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5. $(x - \frac{1}{x}) {(1 - x)}^{4}$ 的展开式中x³的系数为（）

A、﹣7 B、5 C、6 D、7

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6. 已知数列{a_n}为等差数列，若a₁ ， a₆为函数 $f (x) = x^{2} - 9 x + 14$ 的两个零点，则a₃a₄＝（）

A、-14 B、9 C、14 D、20

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7. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，当x＜0时， $f (x) = x^{2} - \ln (- x)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在x＝1处的切线方程为（）

A、x-y＝0 B、x-y-2＝0 C、x+y-2＝0 D、3x-y-2＝0

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与圆 $x^{2} + {(y - 2 \sqrt{3})}^{2} = 4$ 相交于A，B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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9. 已知函数 $f (x) = \sin (π x + φ)$ 某个周期的图象如图所示，A，B分别是 $f (x)$ 图象的最高点与最低点，C是 $f (x)$ 图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ D、 $\frac{7}{65} \sqrt{65}$

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10. 已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则 $\vec{P C}$ $\cdot (\vec{P B} + \vec{P D})$ 的最小值为（）

A、-1 B、-3 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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11. 概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）

A、甲48枚，乙48枚 B、甲64枚，乙32枚 C、甲72枚，乙24枚 D、甲80枚，乙16枚

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12. 已知二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（）

A、45π B、 $\frac{288 π}{7}$ C、 $\frac{144 π}{7}$ D、 $\frac{72 π}{7}$

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二、填空题

13. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{array}$ 则z＝x-3y的最小值为

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14. 设数列{a_n}满足a₁＝1，a_n+1＝4a_n ，则a₁a₂…a_n＝

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15. 已知两条抛物线C：y²＝2x，E：y²＝2px（p＞0且p≠1），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且△ABN的面积是△ABO面积的3倍，则p＝

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16. 已知函 $f (x) = a x - \ln x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{3}}{27}$ ，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设 $φ (x) = \max {f (x) ， g (x)}$ ．若 $φ (x) \geq \frac{x}{3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数a的取值范围为

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三、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 $\sqrt{3} b \sin A = a (2 + \cos B)$ ．

(1)、求B；

(2)、若△ABC的面积等于 $\sqrt{3}$ ，求△ABC的周长的小值．

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18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA₁ ， BC的中点．

(1)、证明：AE//平面BDC₁；

(2)、若异面直线BC₁与AC所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．求DE与平面BDC₁所成角的正弦值．

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，且过点 $(\sqrt{2}, 1)$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆x²+y²＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k₁ ， k₂ ．试判断k₁∙k₂是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．

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20. 某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：

根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值： $\sum_{i = 1}^{42} x_{i} = 4641 ， \sum_{i = 1}^{42} y_{i} = 3108 ， \sum_{i = 1}^{42} x_{i} y_{i} = 350350 ，$ $\sum_{42}^{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 13814.5 ，$ $\sum_{42}^{i = 1} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 5250 ，$ 其中x_i ， y_i分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i＝1，2，…，42，y与x的相关系数r＝0.82．

(1)、若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r₀ ．试判断r₀与r的大小关系，并说明理由；

(2)、求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）；

(3)、从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数 $\bar{y}$ 作为μ的估计值，用样本方差s²作为σ²的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z的数学期望．
附：①回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

②若 $ξ ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) \approx 0.6826 ， P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) \approx 0.9544$

③ $\sqrt{125} \approx$ 11.2

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21. 已知函数 $f (x) = (x + \sin x - \cos x) e^{x}$

(1)、若 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且 $g (x) = f^{'} (x) - f (x)$ ，求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \geq 0$ ，证明： $f (x) \geq x^{2} - 1$ .

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{5} cos φ + 1 \\ y = \sqrt{5} sin φ \end{array}$ （φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)、求C₁的极坐标方程；

(2)、若C₁与曲线C₂：ρ＝2sinθ交于A，B两点，求|OA|∙|OB|的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | 2 x - a |$ ．

(1)、当a＝3时，解不等式 $f (x) \leq 2$ ；

(2)、若不等式 $| x - 1 | + f (x) < 3$ 的解集非空，求实数a的取值范围．

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