黑龙江省齐齐哈尔市2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {{x|x}^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x|y = ln (1 - x)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $(1, 2]$ D、 $(- 1, 1)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $i z = 2 + 4 i$ ,则在复平面内, $z$ 对应的点的坐标是（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(2, - 4)$ C、 $(4, - 2)$ D、 $(4, 2)$

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3. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ， $P (ξ > 4) = 0.2$ ，则 $P (ξ < 0) =$ （）

A、 $0.8$ B、 $0.6$ C、 $0.4$ D、 $0.2$

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4. 《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为 $5$ 分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）
(注：雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)

A、甲的数据分析素养高于乙 B、甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C、乙的六大素养中逻辑推理最差 D、乙的六大素养整体水平优于甲

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5. 函数 $f (x) = \frac{3^{x} + 1}{x (1 - 3^{x})}$ 的图象的大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $y$ （吨）的几组对应数据：

$x$

3

4

5

6

$y$

2.5

3

m

4.5

若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得 $y$ 对 $x$ 的回归直线方程是 $\frac{1}{6}$ ，则表中 $m$ 的值为（）

A、4 B、4.5 C、3 D、3.5

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7. ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中只有第5项二项式系数最大，则展开式中含x²项的系数是（）

A、56 B、35 C、-56 D、-35

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8. 将函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3} + 1$ B、函数 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增

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9. 设 $Δ A B C$ 是边长为 $2$ 的正三角形， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $A E$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot (\overset{⇀}{F B} + \overset{⇀}{F C})$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $2$ D、 $3$

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10. 甲、乙、丙三人每人准备在 $3$ 个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有 $1$ 个景点未被选择”的条件下，恰有 $2$ 个景点未被选择的概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{14}$ D、 $\frac{3}{14}$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线的 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A F | + | B F | = 4 | O F |$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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12. 若函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{ln x}$ 与函数 $h (x) = ln x - 2 a x$ 的图象有三个交点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{e})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2 e} - \frac{e}{2})$ C、 $(\frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{e} ， 0)$ D、 $(\frac{1}{2 e} - \frac{e}{2} ， 0)$

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二、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{7} + a_{9} = 15$ ，则 $S_{13} =$ .

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14. 给出下列命题：
①“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分必要条件；

②命题“若 $x^{2} < 1$ ，则 $x < 1$ ”的否命题是“若 $x^{2} \geq 1$ ，则 $x \geq 1$ ”；

③设 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要不充分条件；

④设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件.

其中正确命题的序号是.

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15. 已知 $f (x)$ 是定义 $R$ 在上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \ln (1 + x^{2}) + x$ ，则不等式 $f (2 x + 1) > 1 + \ln 2$ 的解集为.

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16. 我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的 $x o y$ 平面内，若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x + 1} ， x \in [- 1 ， 0] \\ 1 - x ， x \in (0 ， 1] \end{array}$ 的图象与轴 $x$ 围城一个封闭的区域 $A$ ，将区域 $A$ 沿 $z$ 轴的正方向平移 $2$ 个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域 $A$ 的面积相等，则此圆柱的体积为 .

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三、解答题

17. 某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取

100

件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在

(175 ， 225]

的产品为合格品，否则为不合格品。如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图。

产品质量/毫克	频数
$(165 ， 175]$	$3$
$(175 ， 185]$	$2$
$(185 ， 195]$	$21$
$(195 ， 205]$	$36$
$(205 ， 215]$	$24$
$(215 ， 225]$	$9$
$(225 ， 235]$	$5$

(1)、根据乙流水线样本的频率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数（结果保留整数）；

(2)、由以上统计数据完成

2 \times 2

列联表，能否在犯错误的概率不超过

0.15

的前提下认为产品包装是否合格与两条自动包装流水线的选择有关？

	甲流水线	乙流水线	总计
合格品
不合格品
总计

下列临界值表仅供参考：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 点在线段 $P B$ 上， $P D / /$ 平面 $M A C$ ， $P A = P D = \sqrt{6}$ ， $A B = 4$ .

(1)、求证： $M$ 为 $P B$ 的中点；

(2)、求直线 $M C$ 与平面 $B D P$ 所成角的正弦值.

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19. 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 $\frac{2}{3}$ .本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响且无平局.求：

(1)、前三局比赛甲队领先的概率；

(2)、设本场比赛的局数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的概率分布和数学期望.(用分数表示)

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (1, 0)$ ，点 $P (\frac{2}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ 在 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = x + m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，问 $y$ 轴上是否存在点 $M$ ，使得 $Δ A B M$ 是以 $M$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = m x - a ln x - m ， g (x) = \frac{x}{e^{x - 1}}$ ，其中 $m ， a$ 均为实数， $e$ 为自然对数的底数．
（I）求函数 $g (x)$ 的极值；

（II）设 $m = 1 ， a < 0$ ，若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [3 ， 4] (x_{1} \neq x_{2})$ ， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | < | \frac{1}{g (x_{2})} - \frac{1}{g (x_{1})} |$ 恒成立，求实数 $a$ 的最小值．

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22. 如图，在极坐标系 $O x$ 中， $A (2 ， 0)$ ， $B (\sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ ， $C (2 ， \frac{π}{2})$ ， $D (\sqrt{2} ， \frac{3 π}{4})$ ， $E (2 ， π)$ ，弧 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{D E}$ 所在圆的圆心分别是 $(1 ， 0)$ ， $(1 ， π)$ ，曲线 $M_{1}$ 是弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，曲线 $M_{2}$ 是线段 $B C$ ，曲线 $M_{3}$ 是线段 $C D$ ，曲线 $M_{4}$ 是弧 $\overset{⌢}{D E}$ .

(1)、分别写出 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $M_{3}$ ， $M_{4}$ 的极坐标方程；

(2)、曲线 $M$ 由 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $M_{3}$ ， $M_{4}$ 构成，若点 $P (ρ ， θ)$ ，（ $θ \in [0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π]$ ），在 $M$ 上，则当 $| O P | = \sqrt{3}$ 时，求点 $P$ 的极坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 4} - | x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) > \frac{1}{2}$ ；

(2)、若正数 $a, b, c$ ，满足 $a + 2 b + 4 c = f (\frac{1}{2}) + 2$ ，求 $\sqrt{\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c}}$ 的最小值.

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$x$	3	4	5	6
$y$	2.5	3	m	4.5