黑龙江省牡丹江市五县市2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x \in N | 1 ⩽ x ⩽ 8}$ ， $B = {x | (x - 3) (x - 7) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${3 ， 4 ， 5}$ C、 ${5 ， 6 ， 7}$ D、 ${4 ， 5 ， 6}$

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2. $\frac{1 - 2 i}{2 + i} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- i$ C、 $i$ D、 $1 - i$

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3. 已知 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 3)$ ， $\overset{⇀}{b} = (m ， m - 1)$ ， $\overset{⇀}{c} = (m ， 3)$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} =$ （）

A、-5 B、5 C、1 D、-1

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4. 角 $α$ 的终边上一点 $P (a ， 2 a) (a \neq 0)$ ，则 $2 \sin α - \cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ 或 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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5. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y ⩽ x \\ x + y ⩽ 1 \\ y ⩾ - 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、3 D、-3

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6. 若双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， \sqrt{2})$ C、 $(2 \sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $(2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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7. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = - 1$ ， $a_{5} = - 7$ ，则 ${a_{n}}$ 的前10项和为（）

A、-80 B、-85 C、-88 D、-90

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x - 6$ ，在区间 $[- 6 ， 4]$ 内任取一点 $x_{0}$ ，使 $f (x_{0}) \geq 0$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $S = - 18$ ，则输入的 $S =$ （）

A、-4 B、-7 C、-22 D、-32

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10. 如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A、 $28 + 4 \sqrt{3}$ B、 $36 + 4 \sqrt{3}$ C、 $28 + \sqrt{22}$ D、 $36 + \sqrt{22}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则函数 $y = f (x) + ω$ 的对称中心坐标为（）

A、 $(\frac{2}{3} k π + \frac{π}{24} ， \frac{3}{2}) (k \in Z)$ B、 $(3 k π - \frac{3 π}{8} ， \frac{2}{3}) (k \in Z)$ C、 $(\frac{1}{2} k π + \frac{5 π}{8} ， \frac{3}{2}) (k \in Z)$ D、 $(\frac{3}{2} k π - \frac{3 π}{8} ， \frac{2}{3}) (k \in Z)$

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12. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长为2，侧棱长为3，点 $D$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的两条对角线的交点，则直线 $A D$ 与底面 $A B C$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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二、填空题

13. 在 ${(3 x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为．（用数字作答）

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 是递减数列， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} ， a_{2}$ 是方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个根，则 $S_{5} =$ ．

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15. 直线 $a x - a y - 1 = 0$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，过 $A ， B$ 分别作 $y$ 轴的垂线与 $y$ 轴交于 $C ， D$ 两点，若 $| C D | = 1$ ，则整数 $a =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x} ， x ⩾ 2 \\ {(x - 1)}^{3} ， x < 2 \end{array}$ ，令 $g (x) = f (x) - k x + 1$ ，若函数 $g (x)$ 有四个零点，则实数 $k$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \sqrt{3} \sin A \sin B = \sin^{2} C$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ， $D$ 是 $A B$ 中点，求 $C D$ 的长.

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18. 甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2、3、4的4个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球.

(1)、求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率；

(2)、现从甲乙两盒各随机抽取1个小球，记其标号的差的绝对值为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ B C D = \frac{2 π}{3}$ ，四边形 $A C F E$ 为矩形，且 $C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = C D = B C = C F$ .

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面 $B C F$ ；

(2)、求二面角 $A - F B - C$ 的余弦值.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、 $P ， M ， N$ 是 $C$ 上不同的三点，若直线 $P M$ 与直线 $P N$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，证明： $M ， N$ 两点的横坐标之和为常数.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{e f' (e)}{e - 1} x$ （ $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， 2 e]$ 上的最值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) ⩽ (a - 1) x - b (a \in R ， b \in R)$ 恒成立，求 $\frac{b}{a}$ 的最大值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = 1 + t \end{array}$ （ $t$ 为参数），直线 $m$ 与直线 $l$ 平行，且过坐标原点，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos φ \\ y = 2 + \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求直线 $m$ 和圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设直线 $m$ 和圆 $C$ 相交于点 $A$ 、 $B$ 两点，求 $Δ A B C$ 的周长．

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23. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = | x - a^{2} + a | - | x - a |$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最大值为3，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (- 1) \leq 3$ ，求 $a$ 的取值范围.

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