黑龙江省东南联合体2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2 i}{3 - i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$

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2. 已知集合 $A = {x | \log_{\frac{1}{2}} x > - 1}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${1}$ D、 ${0, 1}$

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3. 指数函数 $y = a^{x}$ 是增函数，而 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 是指数函数，所以 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 是增函数，关于上面推理正确的说法是（）

A、推理的形式错误 B、大前提是错误的 C、小前提是错误的 D、结论是真确的

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4. 已知 $a = {0.3}^{0.3}$ ， $b = {0.3}^{1.3}$ ， $c = {1.3}^{0.3}$ ，则它们的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > b > c$

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5. 已知函数 $f (x) = a + \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数,则 $f (a) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 函数 $y = \frac{2 - x}{x + 1} ， x \in (m ， n]$ 的最小值为0，则m的取值范围是（）

A、(1，2) B、(－1，2) C、[1，2) D、[－1，2)

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7. $S_{1} = \int_{1}^{2} x^{2} d x, S_{2} = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x, S_{3} = \int_{1}^{2} e^{x} d x,$ 若，则s₁,s₂,s₃的大小关系为（）

A、s₁＜s₂＜s₃ B、s₂＜s₁＜s₃ C、s₂＜s₃＜s₁ D、s₃＜s₂＜s₁

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8. 若函数 $f (x) = (k - 1) a^{x} - a^{- x} (a > 0 且 a \neq 1)$ 在R上既是奇函数又是减函数，则 $g (x) = {log}_{a} (x + k)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若函数 $f (x) = k x - \ln x$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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10. 函数f（x）是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f（2）=0，则使f（x）<0的x的取值范围（）

A、（－∞，2） B、（2，+∞） C、（－∞，-2）∪（2，+∞） D、（－2，2）

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11. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = - f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = - 2 x + 1$ ，设函数 $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{| x - 1 |} (- 1 \leq x \leq 3)$ ，则函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图像所有交点的横坐标之和为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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12. 如图，已知直线 $y = k x$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切于两点，函数 $g (x) = k x + m$ $(m > 0)$ ，则函数 $F (x) = g (x) - f (x)$ （）

A、有极小值，没有极大值 B、有极大值，没有极小值 C、至少有两个极小值和一个极大值 D、至少有一个极小值和两个极大值

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二、填空题

13. 已知命题 $p : \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 \geq 0$ ，则 $\neg p$ 为.

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14. 幂函数 $f (x)$ 的图像过点 $(3, \sqrt{3})$ ,则 $f (x^{2} - 2 x)$ 的减区间为.

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15. 极坐标系中，曲线 $ρ = - 4 \cos θ$ 上的点到直线 $ρ (\cos θ + \sqrt{3} \sin θ) = 8$ 的距离的最大值是.

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16. 函数 $f (x) = x - 2 \sin x$ ，对任意 $∴ \sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} = \frac{\sqrt{5}}{5} ， \tan α = \frac{1}{2} .$ ，恒有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq M$ ，则 $M$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知复数 $z = 1 + i$ .

(1)、化简： $w = z^{2} + 3 \bar{z} - 4$ ；

(2)、如果 $\frac{z^{2} + a z + b}{z^{2} - z + 1} = 1 - i$ ，求实数 $a, b$ 的值.

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18. 如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形， $F A = F C$ ，且 $∠ D A B = ∠ D B F = 60^{\circ}$

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面BDEF；

(2)、求二面角 $A - F B - C$ 的余弦值．

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19. 为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各50人进行调查，根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.

(1)、求所调查学生日均玩游戏时间在

[40 ， 50)

分钟的人数；

(2)、将日均玩游戏时间不低于60分钟的学生称为“游戏迷”，已知“游戏迷”中女生有6人；

①根据已知条件，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别关系；

	非游戏迷	游戏迷	合计
男
女
合计

②在所抽取的“游戏迷”中按照分层抽样的方法抽取10人，再在这10人中任取9人进行心理干预，求这9人中男生全被抽中的概率.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）.

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以原点 $O$ 为圆心，以椭圆 $C$ 的短半轴长为半径的圆与直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 相切．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设不过原点的直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆C交于 $A, B$ 两点,若直线 $A F_{2}$ 与 $B F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 0$ ，求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标；

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21. 已知 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = x^{3} + a x^{2} - x + 2$ ．

(1)、如果函数 $g (x)$ 的单调递减区间为 $(- \frac{1}{3} ， 1)$ ，求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、在（1）的条件下，求函数 $y = g (x)$ 的图象在点 $P (- 1 ， 1)$ 处的切线方程；

(3)、若不等式 $2 f (x) \leq g^{'} (x) + 2$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} - t} \\ y = \frac{2 \sqrt{3} t}{\sqrt{3} - t} \end{array}$ （t为参数，且t＞0），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．

(1)、将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、求曲线M与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

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23. 已知 $f (x) = | x - a | x + | x - 2 | (x - a) .$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $x \in (- \infty, 1)$ 时， $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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