广西梧州市2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集U＝{ $x \in N$ |﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁_UA的子集的个数是（）

A、16 B、8 C、7 D、4

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2. 已知复数 $z_{1} ， z_{2}$ 在复平面内的对应点关于实轴对称， $z_{1} = 3 - i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$

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3. 空气质量指数

A Q I

是一种反映和评价空气质量的方法，

A Q I

指数与空气质量对应如下表所示：

$A Q I$	0～50	51～100	101～150	151～200	201～300	300以上
空气质量	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

如图是某城市2018年12月全月的指 $A Q I$ 数变化统计图．

根据统计图判断，下列结论正确的是（）

A、整体上看，这个月的空气质量越来越差 B、整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量 C、从

A Q I

数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D、从

A Q I

数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值

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4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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5. 已知 $α$ 满足 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{4} + α) \cos (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $\frac{7}{18}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{7}{18}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ 中的 $a_{2} ， a_{4030}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 6 x - 1$ 的两个极值点，则 ${log}_{2} (a_{2016}) =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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7. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于

A、24 B、30 C、10 D、60

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8. 若 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 是两个非零向量，且 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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9. $(2 x - 3) {(1 + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）

A、-55 B、-61 C、-63 D、-73

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10. 在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为内角 $A ， B ， C$ 的对边，若 $2 \sin B = \sin A + \sin C$ ， $\cos B = \frac{3}{5}$ ，且 $S_{Δ A B C} = 6$ ，则 $b =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 内的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - e^{x} + 1 + m \cos x$ ，记 $a = 2 f (- 2) ， b = - f (- 1) ， c = 3 f (3)$ ，则 $a ， b ， c$ 间的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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12. 设抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $M (\sqrt{3} ， 0)$ 的直线与抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点，与抛物线的准线相交于 $C$ ， $| B F | = 2$ ，则 $△ B C F$ 与 $△ A C F$ 的面积之比 $\frac{S_{△ B C F}}{S_{△ A C F}} =$ （）．

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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二、填空题

13. 函数 $y = a x e^{x}$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线与直线 $y = - x$ 互相垂直，则 $a =$ ．

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14. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \\ 4 x - y - 4 \leq 0 \end{cases}$ ，则 $\frac{y + 2}{x + 1}$ 的最大值是.

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15. 当双曲线M： $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{m^{2} + 4} = 1$ 的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为．

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 1)$ 对称， $g (x) = {(x - 1)}^{3} + 1$ ，若函数 $f (x)$ 图象与函数 $g (x)$ 图象的交点为 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \dots ， (x_{2019} ， y_{2019})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2019} (x_{i} + y_{j}) =$ ．

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = r ， S_{n} = a_{n + 1} - \frac{1}{32} (n \in N^{*})$ .

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，求 $r$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在（1）的条件下，设 $b_{n} = 2^{n} + \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：

(1)、求这1000件产品质量指标的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x} ， σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ .
（i）利用该正态分布，求 $P (175.6 < Z < 224.4)$ ；

（ⅱ）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值 $Z \in (175.6 ， 224.4)$ ）的定价为16元；若为次品（质量指标值 $Z \notin (15.6 ， 224.4)$ ），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品，记 $Y$ 表示这件产品的利润，求 $E Y$ .

附： $\sqrt{150} \approx 12.2$ ，若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) \approx 0.68 ， P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) \approx 0.95$ .

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19. 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C . A C = 1. B C = 2 ， A A_{1} = 4 ，$ $M$ 为侧面 $A A_{1} C C_{1}$ 的对角线的交点， $D 、 E$ 分别为棱 $A B ， B C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $M D E$ //平面 $A_{1} B C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $C - M E - D$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $6$ ，且椭圆 $C$ 与圆 $M ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = \frac{40}{9}$ 的公共弦长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{3}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、过点 $P (0 ， 2)$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于两点 $A ， B$ ，试判断在 $x$ 轴上是否存在点 $D$ ，使得 $Δ A D B$ 为以 $A B$ 为底边的等腰三角形.若存在，求出点 $D$ 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.

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21. 已知 $a > 0$ ，函数 $g (x) = \frac{2 a}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (a + 2) x^{2} + x (x > 0) ， f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + \ln x + 2$ .

(1)、讨论函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、若 $f (x) < 0$ 在 $x \in [\frac{1}{2} ， 1]$ 内有解，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 + 2 c o s α \\ y = 3 + 2 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），直线 $C_{2}$ 的普通方程为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ .以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 和直线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $\frac{1}{| OA |} + \frac{1}{| OB |}$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - 2 |$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最小值为3，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ 时，不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集为 $A$ ，当 $m ， n \in A$ 时，求证： $| m n + 4 | ⩾ 2 | m + n |$ .

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