广西钦州市2018-2019学年高二下学期理数期末教学质量监测试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = \{x |x - 1| < 1\}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 已知 $(2 - i) z = 2 i$ （ $i$ 为虚单位），则复数 $z$ 在复平面上所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（）

A、空间中平行于同一直线的两直线平行 B、空间中平行于同一平面的两直线平行 C、空间中平行于同一直线的两平面平行 D、空间中平行于同一平面的两平面平行

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4. 某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（）

A、60种 B、90种 C、150种 D、240种

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5. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有（）

A、80种 B、100种 C、120种 D、126种

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6. 设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于（　　）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7. 已知一种元件的使用寿命超过 $1$ 年的概率为 $0.8$ ，超过 $2$ 年的概率为 $0.6$ ，若一个这种元件使用到 $1$ 年时还未失效，则这个元件使用寿命超过 $2$ 年的概率为（）

A、 $0.75$ B、 $0.6$ C、 $0.52$ D、 $0.48$

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8. 某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于

120

分为优秀，

120

分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的

2 \times 2

列联表．根据列联表的数据判断有多少的把握认为“成绩与班级有关系”（）

	优秀	非优秀	合计
甲班	$10$	$50$	$60$
乙班	$20$	$30$	$50$
合计	$30$	$80$	$110$

临界值表：

$P (K^{2} \geq k)$	$0.100$	$0.050$	$0.025$	$0.010$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$10.828$

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

A、

90 %

B、

95 %

C、

99 %

D、

99.9 %

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9. 已知下表为 $x$ 与 $y$ 之间的一组数据，若 $y$ 与 $x$ 线性相关，则 $y$ 与 $x$ 的回归直线 $y = b x + a$ 必过点（）

x

0

1

2

3

y

1

3

5

7

A、(2，2) B、(1.5，0) C、(1，2) D、(1.5，4)

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} \cos θ \\ y = \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），直线 $l$ 的方程为 $x + y = 4$ ，则曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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11. 若随机变量 $X \sim N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (X \geq 5) = 0.2$ ，则 $P (1 \leq X \leq 5)$ 等于（）

A、 $0.6$ B、 $0.5$ C、 $0.4$ D、 $0.3$

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12. 已知离散型随机变量 $X$ 的分布列为

$X$

$0$

$1$

$2$

$3$

$P$

$\frac{8}{27}$

$\frac{4}{9}$

$\frac{2}{9}$

$\frac{1}{27}$

则 $X$ 的数学期望 $E (X)$ 为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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13. 在极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} \cos θ$ ，若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $| A B |$ 等于（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{3}$

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14. 在极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin θ$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sqrt{3} \cos θ$ ，若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的关系为（）

A、外离 B、相交 C、相切 D、内含

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15. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，直线 $a x + b y = 1$ 过点 $(1 ， 3)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{3 b}$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $2 f (x) - f^{'} (x) > 0$ ，且 $f (1) = e$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{e^{2 x - 1}} < 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， e)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(e ， + \infty)$

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17. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) + f^{'} (x) < 0 ， f (0) = 1$ ，则不等式 $e^{x} f (x) < 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、填空题

18. 若 $a \in R ， (2 - i) (a + 2 i) \in R$ ，则 $a =$

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19. 将极坐标方程 $ρ = 2 \cos θ - 4 \sin θ$ 化为直角坐标方程得．

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20. $x {(x + 3)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为．

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21. 关于 $x$ 的不等式 $| x + 1 | - | x - 2 | \geq m$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围为

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22. 函数 $f (x) = x \ln x + x$ 的单调递增区间是．

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三、解答题

23.

(1)、用分析法证明： $\sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 \sqrt{5}$ ；

(2)、用数学归纳法证明： $1 \times 4 + 2 \times 7 + \dots + n (3 n + 1) = n {(n + 1)}^{2} (n \in N^{*})$ .

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24. 求证： $\sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 \sqrt{5}$

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25. 已知函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 2$ 处有极大值．

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求 $y = f (x)$ 在 $x = 4$ 处的切线方程．

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26. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 \ln x - 5 x$ .

(1)、求 $f^{'} (1)$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的极值点.

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27. 某市交通管理有关部门对

2018

年参加驾照考试的

21

岁以下的学员随机抽取

10

名学员，对他们的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明相关知识）进行两轮测试，并把两轮成绩的平均分作为该学员的抽测成绩，记录数据如下：

学员编号	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
科目三成绩	$92$	$90$	$92$	$91$	$92$	$90$	$89$	$93$	$92$	$91$
科目四成绩	$94$	$88$	$86$	$90$	$90$	$87$	$94$	$89$	$89$	$91$

(1)、从

2018

年参加驾照考试的

21

岁以下学员中随机抽取一名学员，估计这名学员抽测成绩大于或等于

90

分的概率；

(2)、根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到

90

分以上（含

90

分）才算合格，从抽测的

1

到

5

号学员中任意抽取两名学员，记

X

为抽取学员不合格的人数，求

X

的分布列和数学期望

E (X)

．

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28. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}; x = - 2$ ，圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ,以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，设 $C_{2}, C_{3}$ 的交点为 $M, N$ ，求 $Δ C_{2} M N$ 的面积．

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29. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1} ： x = - 2$ ，圆 $C_{2} ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ．以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，设 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 的交点为 $M$ 、 $N$ ，求 $| M N |$ .

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30. 设函数 $f (x) = 5 - | x + a | - | x - 2 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = - a x + \ln x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于 $f (x)$ 在定义域内的任意 $x$ ，都有 $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$