广东省珠海市2018-2019学年高二下学期理数期末学业质量监测试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $z \in C$ ， $z i = 2 - b i (b \in R)$ ， $z$ 的实部与虚部相等，则 $b =$ （）

A、-2 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 函数 $y = \frac{x - 1}{2 x + 1}$ 在 $(1 ， 0)$ 处的切线与直线 $l$ ： $y = a x$ 垂直，则 $a =$ （）

A、-3 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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3. 若随机变量 $X$ 满足 $X \sim B (n ， p)$ ，且 $E X = 3$ ， $D X = \frac{9}{4}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 若函数 $y = f (x)$ 的图像如下图所示，则函数 $y = f' (x)$ 的图像有可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图所示阴影部分是由函数 $y = e^{x}$ 、 $y = \sin x$ 、 $x = 0$ 和 $x = \frac{π}{2}$ 围成的封闭图形，则其面积是（）

A、 $e^{\frac{π}{2}} + 2$ B、 $e^{\frac{π}{2}} - 2$ C、 $e^{\frac{π}{2}}$ D、 $2 - e^{\frac{π}{2}}$

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6. 某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表

	男	女	总计
好	40	20	60
不好	20	30	50
总计	60	50	110

由 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 得， $K^{2} \approx 7.8$ .

根据 $K^{2}$ 表

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

得到下列结论，正确的是（）

A、有

99 %

以下的把握认为“睡眠质量与性别有关” B、有

99 %

以上的把握认为“睡眠质量与性别无关” C、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关” D、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”

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7. 已知结论：“在正三角形 $A B C$ 中，若 $D$ 是边 $B C$ 的中点， $G$ 是三角形 $A B C$ 的重心，则 $\frac{A G}{G D} = 2$ ．”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体 $A - B C D$ 中，若 $△ B C D$ 的中心为 $M$ ，四面体内部一点 $O$ 到四面体各面的距离都相等，则 $\frac{A O}{O M} =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8. 从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有（）种

A、1190 B、420 C、560 D、3360

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9. 从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件 $A$ ：取到两数之和为偶数，事件 $B$ ：取到两数均为偶数，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 已知13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用 $X$ 表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的村庄数，则下列概率中等于 $\frac{C_{6}^{2} C_{7}^{5}}{C_{13}^{9}}$ 的是（）

A、 $P (X \geq 2)$ B、 $P (X = 2)$ C、 $P (X \leq 4)$ D、 $P (X = 4)$

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11. 直线 $l$ ： $m x + n y = 0$ ， $m ， n \in {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，所得到的不同直线条数是（）

A、22 B、23 C、24 D、25

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12. 凸10边形内对角线最多有（）个交点

A、 $A_{10}^{2}$ B、 $C_{10}^{2}$ C、 $A_{10}^{4}$ D、 $C_{10}^{4}$

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二、填空题

13. 若 $f' (1) = a$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + 2 Δ x) - f (1)}{Δ x} =$

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14. $z = m^{2} - 2 + (2 m - 1) i (m \in R)$ ，其共轭复数 $\bar{z}$ 对应复平面内的点在第二象限，则实数 $m$ 的范围是．

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15. 若 ${(x + \frac{a}{x})}^{8} (a < 0)$ 的展开式中，常数项为5670，则展开式中各项系数的和为．

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16. 若 $f (x) = \sin 2 x + \cos 2 x$ ，则 $f' (\frac{π}{6}) =$

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17. 正态分布 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ 三个特殊区间的概率值 $P (μ - σ \leq X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ \leq X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ \leq X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ，若随机变量 $X$ 满足 $X \sim N (1 ， 2^{2})$ ，则 $P (3 \leq X < 5) =$ ．

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18. 已知 $a ， b \in R$ ，且 $a^{2} + (2 + a) i + 1 + 2 a + b i = 0$ ，则 $| a + b i | =$ ．

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19. 观察下列等式：
$1 = 1$ ， $1^{3} = 1^{2}$

$1 + 2 = 3$ ， $1^{3} + 2^{3} = 3^{2}$

$1 + 2 + 3 = 6$ ， $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 6^{2}$

……

可以推测 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{3} =$ （ $n \in N^{*}$ ，用含有 $n$ 的代数式表示）．

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20. 若 $f (x)$ 是定义在 $D = (- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的可导函数，且 $x f' (x) > f (x)$ ，对 $x \in D$ 恒成立．当 $b < a < 0$ 时，有如下结论：
① $b f (a) > a f (b)$ ，② $b f (a) < a f (b)$ ，③ $a f (a) > b f (b)$ ，④ $a f (a) < b f (b)$ ，

其中一定成立的是．

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三、解答题

21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + m x (m > 0)$ .

(1)、 $m = 1$ 时，求在点 $P (1 ， f (1))$ 处的函数 $f (x)$ 切线 $l$ 方程；

(2)、 $m = 8$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调区间和极值点．

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22. 已知 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{3 x^{3}})}^{n} (x \neq 0 ， n \in N^{*} ， n \geq 2)$ 的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为 $\frac{3}{4}$ ．

(1)、求 $n$ ；

(2)、请答出展开式中第几项是有理项，并写出推演步骤（有理项就是 $x$ 的指数为整数的项）．

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23. 袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止．

(1)、求取球次数 $X$ 的分布列；

(2)、求取球次数 $X$ 的期望和方差．

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24. 某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取 $n$ 株作为样本进行研究．株高在 $35 c m$ 及以下为不良，株高在 $35 c m$ 到 $75 c m$ 之间为正常，株高在 $75 c m$ 及以上为优等．下面是这 $n$ 个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁．请根据可见部分，解答下面的问题：

(1)、求 $n$ 的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；

(2)、通过频率分布直方图估计这 $n$ 株株高的中位数（结果保留整数）；

(3)、从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记 $X$ 表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量 $X$ 的分布列（用最简分数表示）．

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25. 函数 $f (x) = \frac{1 - x}{a x} + \ln x (a > 0 ， e \approx 2.71828)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $n \in N$ ， $n \geq 2$ 时， $n > e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n}}$ .

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