广东省深圳市南山区2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{2}{1 - i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若 $(2 - x^{3}) {(x + a)}^{5}$ 的展开式的各项系数和为32，则实数a的值为（）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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3. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程 $x^{2} - a x + b = 0$ 至多有一个实根”时，则下列假设中正确的是（）

A、方程 $x^{2} - a x + b = 0$ 没有实根 B、方程 $x^{2} - a x + b = 0$ 至多有一个实根 C、方程 $x^{2} - a x + b = 0$ 恰好有两个实数根 D、方程 $x^{2} - a x + b = 0$ 至多有两个实根

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4. 已知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如下表：

若求得其线性回归方程为 $\hat{y} = 6.5 x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（）

A、42万元 B、45万元 C、48万元 D、51万元

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. 已知某随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (0 < ξ < 1) = 0.3$ ，则 $P (ξ < 2)$ （）

A、 $0.8$ B、 $0.75$ C、 $0.7$ D、 $0.6$

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7. 已知 $x = \frac{1}{e}$ 是函数 $f (x) = x (\ln a x + 1)$ 的极值点，则实数a的值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、1 D、e

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8. 已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量 $Y = 2 X + 3$ ，则Y的期望是（）

X

-1

0

1

$P$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

m

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）

A、60 B、48 C、36 D、24

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10. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图，设 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $f^{'} (3) < f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ C、 $f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$ D、 $f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$

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11. 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x) + f (- x) = 2 cos x$ ， $f^{'} (x) + sin x < 0$ ，若角 $α$ 满足不等式 $f (π + α) + f (α) \geq 0$ ，则 $α$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{π}{2}]$ B、 $(- \infty ， π]$ C、 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{2}]$

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二、填空题

13. 定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$ 的值等于.

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14. 已知 $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
$\cos \frac{π}{5} \cos \frac{2 π}{5} = \frac{1}{4}$

$\cos \frac{π}{7} \cos \frac{2 π}{7} \cos \frac{3 π}{7} = \frac{1}{8}$

……

根据以上等式，可猜想出的一般结论是．

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15. 已知 $a \in [0, 3]$ ，若 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{6}$ 展开式的常数项的值不大于15，则a取值范围为.

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16. 若 $2 x \ln x > - x^{2} + a x - 3$ 对一切 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则a的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知i为虚数单位，m为实数，复数 $z = (m + i) (1 - 2 i)$ .

(1)、m为何值时，z是纯虚数？

(2)、若 $| z | \leq 5$ ，求 $| z - i |$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{k}{x}$ ， $k \in R$ .

(1)、若 $k = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 3 - \frac{e^{2}}{x}$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} \geq 1$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ， $n \in N^{+}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值；

(2)、猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.

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20. 2019年6月13日，三届奥运亚军，羽坛传奇，马来西亚名将李宗伟宣布退役，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组；

[0 ， 10) ，

[10 ， 20) ，

[20 ， 30) ，

[30 ， 40) ，

[40 ， 50) ，

[50 ， 60]

，得到如下图所小的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计，得到部分数据如下的列联表.

(1)、在答题卡上补全2×2列联表中数据，并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？

(2)、该论坛欲在上述“强烈关注”的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，并在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为

ξ

，求

ξ

的分布列与数学期望.

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

参考公式与数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x \ln x$ ， $g (x) = (1 - \frac{a}{e}) x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 恰有一个极值点，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a \in (- 1 ， 0)$ ，且 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，证明： $\frac{f (x)}{x} \leq g (x) < \frac{e^{x}}{x}$ .（常数 $e = 2.718 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数）.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 2 - t \\ y = 1 + t \end{array}$ （t为参数），曲线 $C_{1} ： y = \sqrt{1 - x^{2}}$ .以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sqrt{2} \sin (α - \frac{π}{4})$ .

(1)、若点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在曲线 $C_{1}$ 上，求 $- x_{0} + y_{0}$ 的取值范围；

(2)、设直线l与曲线 $C_{2}$ 交于M、N两点，点Q的直角坐标为 $(- 2 ， 1)$ ，求 $| | Q M | - | Q N | |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = 3 | x | + | 3 - x |$

(1)、求 $f (x)$ 的最小值

(2)、若不等式 $f (x) < 5$ 的解集为M，且 $a, b \in M$ ，证明： $a b > a + b - 1$ .

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X	-1	0	1
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	m