广东省深圳市宝安区2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 1]$ C、 $[1, 2)$ D、 $(1, 2)$

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2. $z (1 + i) = 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知顶点在 $x$ 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为 $2 x \pm y = 0$ ，该双曲线的焦点为（）

A、 $(\pm 2 \sqrt{3}, 0)$ B、 $(\pm 4 \sqrt{3}, 0)$ C、 $(\pm 2 \sqrt{5}, 0)$ D、 $(\pm 4 \sqrt{5}, 0)$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1, x > - 1 \\ f (x + 2), x \leq - 1 \end{array}$ ，则 $f (- 3) =$ （）

A、 $- \frac{7}{8}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、7

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5. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{B M} = 2 \overset{⇀}{M C}$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A M}$ 等于（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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6. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，质点 $M ， N$ 间隔3分钟先后从点 $P$ ，绕原点按逆时针方向作角速度为 $\frac{π}{6}$ 弧度/分钟的匀速圆周运动，则 $M$ 与 $N$ 的纵坐标之差第4次达到最大值时， $N$ 运动的时间为（）

A、37.5分钟 B、40.5分钟 C、49.5分钟 D、52.5分钟

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7. 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $8 - \frac{2 π}{3}$ B、 $8 - \frac{4 π}{3}$ C、 $8 - π$ D、 $8 - \frac{16 π}{9}$

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8. “ $a = 3$ ”是“圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 与圆 $C$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 8$ 外切”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分条件也不必要条件

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9. 已知点 $M (0, - 1)$ 在抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线上， $F$ 为 $C$ 的焦点，过 $M$ 点的直线与 $C$ 相切于点 $N$ ，则 $Δ F M N$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、4

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10. 已知 $Δ A B C$ 为等腰三角形，满足 $A B = A C = \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ，若 $P$ 为底 $B C$ 上的动点，则 $\overset{⇀}{A P} \cdot (\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C}) =$ （）

A、有最大值 $8$ B、是定值 $2$ C、有最小值 $1$ D、是定值 $4$

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11. 函数 $f (x) = e^{| x |} - 2 | x | - 1$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点 $O$ 对称的两点，且直线 $A B$ 的斜率为 $2 \sqrt{2}$ . $M$ 、 $N$ 分别为 $A F_{2}$ 、 $B F_{2}$ 的中点，若原点 $O$ 在以线段 $M N$ 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 若x ， y满足 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ y \geq - 1 \\ x + y \geq 3 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最小值为

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14. 在 $(\frac{1}{x} - 1) {(\sqrt{x} + 1)}^{5}$ 的展开式中常数项等于

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15. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $A$ 在双曲线上，点 $M$ 的坐标为 $(\frac{2}{3} ， 0)$ ，且 $M$ 到直线 $A F_{1}$ ， $A F_{2}$ 的距离相等，则 $| A F_{1} | =$

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16. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，若 $C D = 1$ 且 $(a - \frac{1}{2} b) sin A = (c + b) (sin C - sin B)$ ，则 $Δ A B C$ 面积的最大值是

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三、解答题

17. 各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{λ}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} + S_{n} = λ a_{n + 1}^{2}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = λ^{n} a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是线段 $A D$ ， $B D$ 的中点， $∠ A B D = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $E C = \sqrt{2}$ ， $A B = B D = 2$ ，直线 $E C$ 与平面 $A B C$ 所成的角等于 $30^{\circ}$ ．

(1)、证明：平面 $E F C ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求二面角 $A - C E - B$ 的余弦值．

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19. 如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝ $θ$ ，公路MB，MN的总长为 $f (θ)$ ．

(1)、求 $f (θ)$ 关于 $θ$ 的函数关系式，并写出函数的定义域；

(2)、当 $θ$ 为何值时，投资费用最低？并求出 $f (θ)$ 的最小值．

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20. 中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道.某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的主要购物方式进行问卷调查.现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如下图表：

主要购物方式年龄阶段	网络平台购物	实体店购物	总计
40岁以下	75
40岁或40岁以上		55
总计

(1)、根据已知条件完成上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过

0.1 %

的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？

(2)、用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者中抽取5名进行答谢.设抽到的消费者中40岁以下的人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望.

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

临界值表：

$P (K^{2} > k)$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

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21. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x$ 上一点 $(m ， 2)$ 到其准线的距离为2．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、如图 $A$ ， $B$ ， $C$ 为抛物线 $E$ 上三个点， $D (8 ， 0)$ ，若四边形 $A B C D$ 为菱形，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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22. 设函数 $f (x) = 2 x - 2 - a \ln x$ ， $a \in R$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $a > 0$ ，若存在正实数 $m$ ，使得对任意 $x \in (1 ， m)$ 都有 $| f (x) | > 2 \ln x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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