广东省深圳市宝安区2018-2019学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | \log_{2} (x - 1) < 0}$ ，集合 $N = {x | x \geq - 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x < 2}$ B、 ${x | x \geq - 2}$ C、 ${x | x < 2}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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2. 已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）

A、﹣1﹣2i B、﹣1+2i C、1﹣2i D、1+2i

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3. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A、互联网行业从业人员中90后占一半以上 B、互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% C、互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D、互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $2 + a_{5} = a_{6} + a_{3}$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、 $2$ B、 $7$ C、 $14$ D、 $28$

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5. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一个焦点到它的一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出 $n$ 的值是（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x, x \geq 0 \\ - x^{2} + a x, x < 0 \end{array}$ 为奇函数，则实数a的值为（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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8. 已知 $x = 2^{0.2}$ ， $y = \lg \frac{2}{5}$ ， $z = {(\frac{2}{5})}^{\frac{7}{5}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x < y < z$ B、 $y < z < x$ C、 $z < y < x$ D、 $z < x < y$

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9. “对任意正整数 $n$ ，不等式 $n \lg a < (n + 1) \lg a^{a} (a > 1)$ 都成立”的一个必要不充分条件是（）

A、 $a > 0$ B、 $a > 1$ C、 $a > 2$ D、 $a > 3$

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10. 如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

A、 $\frac{π - \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{π - \sqrt{3}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 x ， x \leq 0 \\ - \ln x ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有 $3$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 4)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 4]$ D、 $(- \infty ， 2]$

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12. 数列{a_n}中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排a₁；第二行2项，从左到右分别排a₂ ， a₃；第三行3项，……依此类推，设数列{a_n}的前n项和为S_n ，则满足S_n＞2019的最小正整数n的值为（）

A、20 B、21 C、26 D、27

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二、填空题

13. 已知平面向量 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的射影为．

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y - 4 \leq 0 ， \\ x + y - 2 \leq 0 ， \\ 3 x - y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = - x + y$ 的最小值为．

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，且 $P F_{2}$ 垂直 $x$ 轴，若直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则该椭圆的离心率为．

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16. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为．

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三、解答题

17. 已知 $\int (x)$ =12sin(x+ $\frac{π}{6}$ )cosx-3,x∈[o, $\frac{π}{4}$ ].
(Ⅰ)求 $\int (x)$ 的最大值、最小值;

(Ⅱ)CD为△ABC的内角平分线,已知AC= $\int (x)$ max,BC= $\int (x)$ ,CD=2 $\sqrt{2}$ ,求∠C．

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18. 十八大以来，我国新能源产业迅速发展.以下是近几年某新能源产品的年销售量数据：

年份	2014	2015	2016	2017	2018
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
新能源产品年销售 $y$ （万个）	1.6	6.2	17.7	33.1	55.6

(1)、请画出上表中年份代码

x

与年销量

y

的数据对应的散点图，并根据散点图判断：

y = a x + b

与

y = c x^{2} + d

中哪一个更适宜作为年销售量

y

关于年份代码

x

的回归方程类型；

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，建立

y

关于

x

的回归方程，并预测2019年某新能源产品的销售量（精确到0.01）.

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$

参考数据： $\bar{x} = 3 ， \bar{y} = 22.84 ， \bar{t} = 11 ， \sum_{i = 1}^{5} {(x {}_{i}- \bar{x})}^{2} = 10 ， \sum_{i = 1}^{5} {(t {}_{i}- \bar{t})}^{2} = 374$ $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 134.90 ， \sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 849.10 ，其中 t_{i} = x_{i}^{2}$

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19. 如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝4，BB₁＝2 $\sqrt{2}$ ，点E、F、M分别为C₁D₁ ， A₁D₁ ， B₁C₁的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．

(1)、在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）

(2)、在图2中，求证：D₁B⊥平面DEF．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, F_{1}, F_{2}$ 分别是它的左、右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 2$ .

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过椭圆E的上顶点A作斜率为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当 $k_{1} k_{2} = - 1$ 时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x$ 在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = 4 \sqrt{2}$ ，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．

(1)、将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 $C_{1}$ ，写出 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $θ = \frac{π}{3}$ 与 $C_{1}$ 交 $l$ 的交点分别为 $M, N$ ，射线 $θ = \frac{2 π}{3}$ 与 $C_{1}$ 和 $l$ 的交点分别为 $A, B$ ，求四边形 $A B N M$ 的面积.

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23. 已知关于x的不等式|x﹣m|+2x≤0的解集为（﹣∞，﹣2]，其中m＞0．

(1)、求m的值；

(2)、若正数a，b，c满足a+b+c＝m，求证： $\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} \geq$ 2．

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