广东省汕尾市2018-2019学年高二下学期文数教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{x｜ $3 \leq x \leq 7$ ，x∈N}，则 $C_{U} A$ ＝（）

A、{1，2} B、{1，3，4，7} C、{1，4，7} D、{3，4，5，6，7}

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2. 已知复数z满足 $(1 - i) z = i$ (其中i为虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 若 $a = \log_{6} 7$ ， $b = \log_{7} 6$ ， $c = \log_{\frac{6}{7}} π$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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4. 已知双曲线的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =$ 1（a＞0，b＞0），若渐近线方程为y＝± $\sqrt{3}$ x，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、4

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5. 若 $\tan θ = 2$ ，则 $\sin 2 θ =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ D、 $\sqrt{3} π$

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7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，第四日行二十四，几朝才得到其关，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，其中第四天走了24里.”问此人（）天后到达目的地.

A、4 B、5 C、6 D、8

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8. 如果实数x、y满足条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \\ y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，那么 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、-3 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、4

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9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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10. 将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的图象解析式为（）

A、 $y = \sin 2 x$ B、 $y = \cos 2 x$ C、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$

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11. 日本数学家角谷静夫发现的“ $3 x + 1$ 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的 $N = 6$ ，则输出i值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A ， B$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上不同于 $A ， B$ 两点的动点，若直线 $P A$ 斜率的取值范围是 $[1 ， 2]$ ，则直线 $P B$ 斜率的取值范围是（）

A、 $[﹣ 2 ， ﹣ 1]$ B、 $[- \frac{3}{2} ， - \frac{3}{4}]$ C、 $[- 1 ， - \frac{1}{2}]$ D、 $[- \frac{3}{4} ， - \frac{3}{8}]$

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二、填空题

13. 某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5.现用分层抽样抽取一个容量为 $N$ 的样本，样本中甲型号产品有16件，则 $N =$ .

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14. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{4} = 7$ ，则 ${a_{n}}$ 的前5项和 $S_{5} =$ .

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15. 函数 $f (x) = e^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为.

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16. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧远处一山项D在西偏北30°的方向上，行驶 $600 m$ 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，则此山的高度 $C D =$ $m$ .

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为a，b，c，满足 $(a + b - c) (a - b + c) = b c$ .

(1)、求A的值；

(2)、若 $a = 2$ ， $B = \frac{π}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的周长.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = a_{n} + n^{2} - n$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = B B_{1}$ ， $A B_{1} \cap A_{1} B = E$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ，且 $A C \cdot B D = 1$ ，求 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离.

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20. 端午佳节旌旗胜，龙舟竞渡展雄风.端午龙舟竞渡活动是我国的民间传统习俗，龙舟精神激发着汕尾海陆丰老区人民敢为人先、奋发有为的勇气.每年在粽叶飘香的端午节到来的前一天，汕尾市都将在美丽的品清湖畔举行龙舟锦标赛，他们将在这片碧蓝的品清湖上挥桨劈浪，奋勇争先，一往无前的龙舟精神，该活动也为市民提供了难得的视觉盛宴.某商家为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了6月2日至6月6日的白天平均气温

x

（℃）与该奶茶店的这种饮料销量

y

（杯），得到如下数据：

日期	6月2日	6月3日	6月4日	6月5日	6月6日
平均气温 $x$ （℃）	27	29	31	30	33
销量 $y$ （杯）	23	25	30	26	21

(1)、先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；

(2)、请根据所给五组数据，求出了

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；若气象台预报6月7日白天的平均气温为35℃，根据线性回归方程预测该奶茶店这种饮料的销量（取整数）.

附：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， ${\begin{array}{l} \hat{b} = \frac{\sum_{n}^{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{n}^{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{n}^{i = 1} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{n}^{i = 1} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \\ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}, \end{array}$ 其中 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ 为样本平均值.

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21. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以椭圆 $E$ 的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $x - m y - 4 = 0$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，设 $P$ 为椭圆 $E$ 上一动点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} = t \vec{O P}$ （ $O$ 为坐标原点）.当 $t \geq 1$ 时，求 $m$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{b}{x} - a \ln x (a ， b \in R ， a > 0)$

(1)、若 $a = 1$ ， $b = 2$ ，若 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $b = 1$ 时，若 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (n ， n + 1)$ ，其中 $n \in N$ ，求 $n$ .
（参考数据： $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ ）

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