广东省揭阳市2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x > - 1}$ ， $N = {y | y = - 2 x ， x \in M}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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2. 已知复数z满足 $(1 + i) \cdot z = 1 - i$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、i B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $- i$

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3. 已知 $\cos θ \cdot \tan θ = \frac{3}{4}$ ，则 $\sin (\frac{π}{2} - 2 θ) =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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4. 函数 $f (x) = \ln | x | (\ln | x | + 1)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于同一个常数．若第一个单音的频率为f，第三个单音的频率为 $\sqrt[6]{2} f$ ，则第十个单音的频率为（）

A、 $2 \sqrt{2} f$ B、 $\sqrt[4]{2^{3}} f$ C、 $\sqrt[3]{2^{2}} f$ D、 $\sqrt[6]{2^{5}} f$

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6. 已知两条不同直线a、b，两个不同平面 $α$ 、 $β$ ，有如下命题：
①若 $a / / α$ ， $b \subset α$ ，则 $a / / b$ ； ②若 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a / / b$ ；

③若 $α / / β$ ， $a \subset α$ ，则 $a / / β$ ； ④若 $α / / β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a / / b$

以上命题正确的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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7. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x - 2 y - 1 \leq 0 \\ x \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = y - 2 x$ 的最大值为（）

A、 $- 2$ B、1 C、2 D、4

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8. 已知 $2^{a} = e$ ， $e^{b} = 2$ ， ${(\frac{1}{2})}^{c} = \frac{1}{3}$ ，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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9. 从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张．则恰好有2次抽到奇数的概率是（）

A、 ${(\frac{5}{9})}^{2} {(\frac{4}{9})}^{3}$ B、 $C_{5}^{2} {(\frac{5}{9})}^{2} {(\frac{4}{9})}^{3}$ C、 ${(\frac{4}{9})}^{2} {(\frac{5}{9})}^{3}$ D、 $C_{5}^{3} {(\frac{5}{9})}^{3} {(\frac{4}{9})}^{2}$

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10. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，P在双曲线C上，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{14}{9}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{14}{3}$

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11. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (2 - x)$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $f (x) = a^{x} - 1 (a > 0)$ ，且 $f (2) = - 8$ ，则 $f (2019) =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 2$ D、 $- 1$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $n S_{n} = n S_{n - 1} + a_{n} + \frac{1}{n + 1} (n \geq 2)$ ，若 $S_{m} > \frac{13}{8}$ ，则m的最小值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题

13. 已知两直线的方向向量分别为 $\overset{⇀}{a} = (m ， 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (4 ， m)$ ，若两直线平行，则 $m =$ ．

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14. 曲线 $y = (1 - 3 a) e^{x}$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线方程为．

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15. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，则 $△ A B P$ 面积的最小值为．

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16. 已知P是底面为正三角形的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上底面 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，作平面 $B C D ⊥ A P$ 与棱 $A A_{1}$ 交于点D．若 $A A_{1} = 2 A B = 2$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 的体积为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = 2$ ， $c = 3$ ， $\cos B = \sin (B - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求b的值；

(2)、求 $\cos (C - B)$ 的值．

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18. 如图，在三棱锥P-ABC中， $A P = C P$ ，O是AC的中点， $P O = 1$ ， $O B = 2$ ， $P B = \sqrt{5}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面ABC；

(2)、若 $A C ⊥ B C$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，D是AB的中点，求二面角 $P - C D - B$ 的余弦值．

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19. 已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）

甲部门	6	7	8
乙部门	5.5	6	6.5	7	7.5	8
丙部门	5	5.5	6	6.5	7	8.5

(1)、求该单位乙部门的员工人数？

(2)、从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率；

(3)、若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与圆M： $x^{2} + {(y + b^{2})}^{2} = \frac{5}{2}$ 的一个公共点为 $(\frac{\sqrt{6}}{2} ， - 1)$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且A是线段MB的中点，求 $△ O A B$ 的面积．

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21. 已知函数 $f (x) = a x (\ln x + a - 1) (x > 1 ， a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 1$ 时， $f (x) < {(a x)}^{2}$ ，求证： $a > \frac{1}{e^{2}}$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α \\ y = 3 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 $P (2 ， \frac{3 π}{4})$ 在直线l： $ρ \cos θ - ρ \sin θ + m = 0$ 上．

(1)、求曲线C和直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C的相交于点A、B，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 a | - | x - a |$ ．

(1)、若 $f (1) > 2$ ，求a的取值范围；

(2)、 $\forall x 、 y \in R$ ， $f (x) > f (y) - 6$ ，求a的取值范围．

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