广东省广州市海珠区2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z - 2 i = \frac{2}{1 + i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2. 若函数 $f (x)$ 的导函数的图象关于 $y$ 轴对称，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \cos x$ B、 $f (x) = x^{5} + x^{2}$ C、 $f (x) = 1 + \sin 2 x$ D、 $f (x) = e^{x} - x$

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3. 设 $X ~ N (μ_{1} ， σ_{1}^{2})$ ， $Y ~ N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）

A、 $μ_{1} > μ_{2}$ ， $σ_{1} > σ_{2}$ B、 $P (X > μ_{1}) < P (X > μ_{2})$ C、 $μ_{1} < μ_{2}$ ， $σ_{1} > σ_{2}$ D、 $P (Y \leq μ_{1}) < P (X \leq μ_{2})$

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4. 安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A、120种 B、180种 C、240种 D、480种

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5. 近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市场，在海外设了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从中青年员工中随机调查了

100

位，得到数据如下表：

	愿意被外派	不愿意被外派	合计
中年员工	$20$	$20$	$40$
青年员工	$40$	$20$	$60$
合计	$60$	$40$	$100$

由 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 并参照附表，得到的正确结论是（）

附表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.01	0.001
$k_{0}$	2.706	6.635	10.828

A、在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为 “是否愿意外派与年龄有关” B、在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为 “是否愿意外派与年龄无关” C、有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关” D、有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄无关”

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6. ${(\frac{1}{2} x - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数是（）

A、－20 B、－5 C、5 D、20

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7. 在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为（）

A、 $\frac{6}{25}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. “杨辉三角” 是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记 $a_{n}$ 为图中第 $n$ 行各个数之和， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{10} =$ （）

A、1024 B、1023 C、512 D、511

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9. 若函数 $f (x) = \ln (- x + \frac{1}{2}) - a | x - \frac{1}{2} |$ 至少有1个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{e}]$ D、 $[0 ， \frac{1}{e}]$

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10. 某射手每次射击击中目标的概率为 $p$ ，这名射手进行了10次射击，设 $X$ 为击中目标的次数， $D X = 1.6$ ， $P (X =3) < P (X =7)$ ，则 $p$ =（）

A、 $0.8$ B、 $0.6$ C、 $0.4$ D、 $0.2$

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11. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）

A、24对 B、30对 C、48对 D、60对

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12. 设函数 $f (x) = \sqrt{e^{x} + x - a}$ （ $a \in R ， e$ 为自然对数的底数），若曲线 $y = \frac{3 \sqrt{10}}{10} \sin x + \frac{\sqrt{10}}{10} \cos x$ 上存在点 $(x_{0} ， y_{0})$ 使得 $f (y_{0}) = y_{0}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1 - e}{e} ， 1]$ B、 $[\frac{1 - e}{e} ， e + 1]$ C、 $[1 ， e + 1]$ D、 $[1 ， e]$

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二、填空题

13. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = 2 + a i (a \in R)$ 在复平面内对应的点在直线 $x - 3 y + 1 = 0$ 上，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ ．

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14. 记曲线 $y = \sqrt{x}$ 与直线 $x = 2$ ， $y = 0$ 所围成封闭图形的面积为 $S$ ，则 $S =$ ．

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15. 直角三角形 $A B C$ 中，两直角边分别为 $a 、 b$ ，则 $△ A B C$ 外接圆面积为 $\frac{1}{4} π (a^{2} + b^{2})$ ．类比上述结论，若在三棱锥 $A B C D$ 中， $D A$ 、 $D B$ 、 $D C$ 两两互相垂直且长度分别为 $a, b, c$ ，则其外接球的表面积为．

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16. 若曲线 $C$ 与直线 $l$ 满足：① $l$ 与 $C$ 在某点 $P$ 处相切；②曲线 $C$ 在 $P$ 附近位于直线 $l$ 的异侧，则称曲线 $C$ 与直线 $l$ “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有．（填写相应的编号）
① $y = x^{3}$ 与 $y = 0$ ② $y = {(x + 2)}^{2}$ 与 $x = - 2$ ③ $y = e^{x}$ 与 $y = x + 1$

④ $y = \sin x$ 与 $y = x$ ⑤ $y = \tan x$ 与 $y = x$

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x)= x^{3} - x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值和最小值．

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18. 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为 $\frac{3}{4}$ ．现有10件产品，其中7件是一等品，3件是二等品.

(1)、随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(2)、随机选取3件产品，
（i）记一等品的件数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

（ii）求这三件产品都不能通过检测的概率．

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19. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．

(1)、若 $B$ 是 $A, C$ 的等差中项， $\sin B$ 是 $\sin A, \sin C$ 的等比中项，求证： $△ A B C$ 为等边三角形；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求证： $\tan A \cdot \tan B > 1$ ．

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20. 近年来，人们对食品安全越来越重视，有机蔬菜的需求也越来越大，国家也制定出台了一系列支持有机肥产业发展的优惠政策，鼓励和引导农民增施有机肥，“藏粮于地，藏粮于技”．根据某种植基地对某种有机蔬菜产量与有机肥用量的统计，每个有机蔬菜大棚产量的增加量

y

（百斤）与使用有机肥料

x

（千克）之间对应数据如下表：

使用有机肥料 $x$ (千克)	3	4	5	6	7	8	9	10
产量增加量 $y$ (百斤)	2.1	2.9	3.5	4.2	4.8	5.6	6.2	6.7

(1)、根据表中的数据，试建立

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

（精确到

0.01

）；

(2)、若种植基地每天早上7点将采摘的某有机蔬菜以每千克10元的价格销售到某超市，超市以每千克15元的价格卖给顾客．已知该超市每天8点开始营业，22点结束营业，超市规定：如果当天16点前该有机蔬菜没卖完，则以每千克5元的促销价格卖给顾客(根据经验，当天都能全部卖完)．该超市统计了100天该有机蔬菜在每天的16点前的销售量(单位：千克)，如表：

每天16点前的

销售量(单位：千克)

100

110

120

130

140

150

160

频数

若以100天记录的频率作为每天16点前销售量发生的概率，以该超市当天销售该有机蔬菜利润的期望值为决策依据，说明该超市选择购进该有机蔬菜110千克还是120千克，能使获得的利润更大？

附：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

参考数据： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 261.8$ ， $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 42$ ．

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