广东省佛山市顺德区2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $i (1 + 2 i)$ 的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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2. 曲线 $y = x^{3} - x + 2$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = - x + 2$ D、 $y = - x - 2$

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3. 已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下，则 $D (X) =$ （）

$X$

0

2

4

$P$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{4}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 若点 $P_{0} (x_{0} ， y_{0})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 内，则被 $P_{0}$ 所平分的弦所在的直线方程是 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$ ，通过类比的方法，可求得：被 $P (1 ， 1)$ 所平分的双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的弦所在的直线方程是（）

A、 $x - 4 y + 3 = 0$ B、 $x + 4 y - 5 = 0$ C、 $x - 4 y - 5 = 0$ D、 $x + 4 y + 3 = 0$

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5. 抛物线 $y = x^{2} + 1$ 和直线 $y = x + 3$ 所围成的封闭图形的面积是（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $f (n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} (n \in N^{*})$ ，用数学归纳法证明 $f (2^{n}) > \frac{n}{2} ， n \in N^{*}$ 时，从假设 $n = k$ 推证 $n = k + 1$ 成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（）

A、 $2^{k} - 1$ B、 $2^{k}$ C、 $2^{k} + 1$ D、1

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8. 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高

x

（单位：

c m

）与体重

y

（单位：

k g

）数据如下表：

$x$	165	165	157	170	175	165	155	170
$y$	48	57	50	54	64	61	43	59

若已知 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.85 x - 85.71$ ，那么选取的女大学生身高为 $175 c m$ 时，相应的残差为（）

A、

- 0.96

B、0. 96 C、63. 04 D、

- 4.04

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9. 若函数 $f (x) = \ln x + x + \frac{2}{x}$ 在区间 $[t ， t + 2]$ 上是单调函数，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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10. 把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（）

A、36 B、40 C、42 D、48

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11. 已知 ${(x + 2)}^{5} = {(x + 1)}^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{4} + a_{0} =$ （）

A、36 B、40 C、45 D、52

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，且 $f (- 1) = 0$ ，若对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $x \cdot f' (x) > f (x)$ 成立，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. $i$ 是虚数单位，若复数 $(1 + 2 i) (a + i)$ 是纯虚数，则实数 $a =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，则 $f' (\frac{1}{e}) =$ .

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15. 若 ${(x + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于.

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16. 已知平面上1个三角形最多把平面分成2个部分，2个三角形最多把平面分成8个部分，3个三角形最多把平面分成20个部分，4个三角形最多把平面分成38个部分，5个三角形最多把平面分成62个部分…，以此类推，平面上 $n$ 个三角形最多把平面分成个部分.

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三、解答题

17. 某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ① $\frac{2 + i}{1 - 2 i}$ ② $\frac{- 4 + 3 i}{3 + 4 i}$ ③ $\frac{- 1 - i}{- 1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位）
（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；

（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.

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18. 某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生.由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队.
（Ⅰ）求1班至少有1名学生入选代表队的概率；

（Ⅱ）设 $X$ 表示代表队中男生的人数，求 $X$ 的分布列和期望.

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19. 随着人们生活水平的日益提高，人们对孩子的培养也愈发重视，各种兴趣班如雨后春笋般出现在我们日常生活中.据调查，3～6岁的幼儿大部分参加的是艺术类，其中舞蹈和绘画比例最大，就参加兴趣班的男女比例而言，女生参加兴趣班的比例远远超过男生.随机调查了某区100名3～6岁幼儿在一年内参加舞蹈或绘画兴趣班的情况，得到如下表格：

不参加舞蹈且不参

加绘画兴趣班

参加舞蹈不参加

绘画兴趣班

参加绘画不参加

舞蹈兴趣班

参加舞蹈且参加

绘画兴趣班

人数

（Ⅰ）估计该区3～6岁幼儿参加舞蹈兴趣班的概率；

（Ⅱ）通过所调查的100名3～6岁幼儿参加兴趣班的情况，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关.

	参加舞蹈兴趣班	不参加舞蹈兴趣班	总计
男生	10
女生			70
总计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + c) (b + d) (a + b) (c + d)} ， n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 4$ ，当 $x = - 2$ 时，函数 $f (x)$ 有极大值8.
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）若不等式 $f (x) + m x > 0$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70.经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 53.7$ ， $s = \sqrt{\frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 9.9$ ，生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%.
（Ⅰ）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；

（Ⅱ）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数， $σ^{2}$ 近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？

附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9544$

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$X$	0	2	4
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$