广东省佛山市顺德区2018-2019学年高二下学期文数期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-06-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设复数z满足 $1 + 2 i = z i$ ，则z所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知函数 $f (x) = \ln (1 - x)$ 的定义域为A，函数 $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ 的值域为B，则下列关系正确的是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $A \cap B = {x | - 4 < x < 1}$ C、 $A \cup B = R$ D、 $B \subseteq A$

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3. 有一段演绎推理：“对数函数 $y = {log}_{a} x$ 是增函数，已知 $y = {log}_{0.5} x$ 是对数函数，所以 $y = {log}_{0.5} x$ 是增函数”，结论显然是错误的，这是因为（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、非以上错误

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4. 下列函数中，在区间 $(- \infty, 0)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = | x |$ B、 $y = - {(x + 1)}^{2}$ C、 $y = \ln (- x)$ D、 $y = \frac{x}{1 - x}$

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5. 通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
总计	60	50	110

由 $K^{^{2}} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} 算得， K^{^{2}} = \frac{110 \times {(40 \times 30 - 20 \times 30)}^{2}}{60 \times 50 \times 60 \times 50} \approx 7.8$

附表：

p（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

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6. 在用反证法证明命题：“若 $x, y, z \in R_{+}$ ， $a = x + \frac{1}{y}$ ， $b = y + \frac{1}{z}$ ， $c = z + \frac{1}{x}$ ，则a，b，c中至少有一个不小于2”，正确的反设是（）

A、a，b，c都大于2 B、a，b，c都小于2 C、a，b，c至多有两个小于2 D、至少有一个大于2

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7. 已知回归方程 $\hat{y}$ =2x+1，而试验得到一组数据是（2，5.1），（3，6.9），（4，9.1），则残差平方和是（）

A、0.01 B、0.02 C、0.03 D、0.04

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8. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (x + 1), (x \geq 0) \\ 2^{x} - 1, (x < 0) \end{array}$ ，若 $f (a) + f (- 1) = 0$ ，则实数a的值等于（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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10. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x + 3, (x \leq 1) \\ \ln \frac{1}{x}, (x > 1) \end{array}$ ，则不等式 $f (x^{2}) > f (2 x + 3)$ 的解集（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(- 3, 1)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$

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11. 定义对应法则f： $n \to n^{2} + 1$ 的各位数字之和，如 $13^{2} + 1 = 170$ ，如按照对应法则，有 $f (13) = 1 + 7 + 0 = 8$ ，记 $f_{1} (n) = f (n)$ ， $f_{2} (n) = f (f_{1} (n))$ ，…， $f_{k} (n) = f (f_{k - 1} (n))$ ，则 $f_{2018} (9)$ 的值是（）

A、2 B、5 C、8 D、11

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12. 设直线 $y = a$ 与函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \sqrt{x}$ 的图像分别交于A，B两点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $2 - \frac{1}{2} \ln 2$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2$ C、 $2 + \frac{1}{2} \ln 2$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2$

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二、填空题

13. 已知 $\frac{2 i}{1 - i} = a + b i$ （ $a, b \in R$ ，i为虚数单位），则 $| a - b i | =$ ．

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14. 曲线y＝e^x在 $x = 1$ 处的切线方程是.

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15. 若点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 内，则被 $P_{0}$ 所平分的弦所在的直线方程是 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$ ，通过类比的方法，可求得：被 $P (1, 1)$ 所平分的双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的弦所在直线方程是．

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16. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = x^{2} - m x + 2 (x < 0)$ ，若函数 $f (x)$ 图像上与 $g (x)$ 图像上存在关于y轴对称的点，则m的取值范围是．

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三、解答题

17. 某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ① $\frac{2 + i}{1 - 2 i}$ ② $\frac{- 4 + 3 i}{3 + 4 i}$ ③ $\frac{- 1 - i}{- 1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位）
（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；

（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (1 + x)$ ， $g (x) = \log_{a} (1 - x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）

(1)、判断函数 $f (x) + g (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、当 $0 < a < 1$ 时，直接写出函数 $f (x) + g (x)$ 的单调区间（不需证明）

(3)、若 $f (1) + g (\frac{5}{8}) < 1$ ，求a的取值范围．

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19. 只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{7} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$
27	81	3.6	152	2936	38

其中 $z = \ln y$

(1)、根据散点图判断，

y = a + b x

与

y = k e^{c x}

（e为自然对数的底数

e = 2.718 \dots

）哪一个更适宜作为红铃虫的产卵数y和温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)、根据（2）的结果，当温度为37度时红铃虫的产卵数y的预报值是多少？

参考公式：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ ，其线性回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 的系数的最小二乘法估计值为 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$

参考数据： $e^{6} \approx 403$ ， $e^{6.1} \approx 446$ ， $e^{6.2} \approx 493$

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20. 设函数 $f (x) = \frac{m^{2}}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + (m + 1) x - \frac{1}{2}$ ．若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x) - a < 0$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上恒成立，求实数a的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - a^{2} x^{2} + a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < e^{x} - x^{2} - 1$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C： ${\begin{array}{l} x = 2 \cos θ \\ y = \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，

(1)、求曲线C的极坐标方程，若A，B为曲线C上的两点，证明当 $O A ⊥ O B$ 时， $\frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}}$ 定值；

(2)、若过点 $P (1 ， 0)$ 且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线l与曲线C相交于A，B两点，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值．

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23. 已知 $f (x) = | 2 x + 1 | + | a x - 2 |$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(2)、若 $x \in (0, 1)$ 时不等式 $f (x) < 2 x + 3$ 成立，求a的取值范围．

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