广东省佛山市南海区2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z = i (1 + 2 i)$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $i$ D、 $2 i$

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2. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（　　）

A、假设a、b、c都是偶数 B、假设a、b、c都不是偶数 C、假设a、b、c至多有一个偶数 D、假设a、b、c至多有两个偶数

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3. 一工厂生产某种产品的生产量 $x$ （单位：吨）与利润 $y$ （单位：万元）的部分数据如表所示：

$x$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

$y$

$2.2$

$3.8$

$5.5$

$6.5$

$7.0$

从所得的散点图分析可知， $y$ 与 $x$ 线性相关，且回归方程为 $\hat{y} = 1.23 x + a$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2.15$ B、 $- 1.15$ C、 $0.08$ D、 $2.15$

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4. 已知 $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ， $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，若 $\sqrt{6 + \frac{n}{m}} = 6 \sqrt{\frac{n}{m}}$ （ $m$ 、 $n$ 均为正实数），根据以上等式，可推测 $m$ 、 $n$ 的值，则 $m + n$ 等于（）

A、 $40$ B、 $41$ C、 $42$ D、 $43$

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5. 甲射击时命中目标的概率为 $0.75$ ，乙射击时命中目标的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{11}{12}$

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6. 定积分 $\int_{0}^{2} e^{\frac{x}{2}} d x =$ （）

A、 $2 e$ B、 $e - 1$ C、 $2 e - 2$ D、 $\frac{1}{2} e - \frac{1}{2}$

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7. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）

A、20种 B、30种 C、40种 D、60种

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8. ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3} y^{3}$ 的系数为（）

A、 $10$ B、 $20$ C、30 D、 $60$

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9. 一台机器在一天内发生故障的概率为 $0.1$ ，若这台机器一周 $5$ 个工作日不发生故障，可获利 $4$ 万元；发生 $1$ 次故障获利为 $0$ 万元；发生 $2$ 次或 $2$ 次以上故障要亏损 $1$ 万元，这台机器一周 $5$ 个工作日内可能获利的数学期望是（）万元．（已知 ${0.9}^{4} = 0.6561$ ， ${0.9}^{5} = 0.5905$ ）

A、 $3.4736$ B、 $3$ C、 $2.2805$ D、 $1.231$

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，若 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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11. 甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）

A、乙、丁可以知道自己的成绩 B、乙可以知道四人的成绩 C、乙、丁可以知道对方的成绩 D、丁可以知道四人的成绩

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，且满足 $f (x) + x f^{'} (x) > 0$ （ $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则不等式 $(x - 1) f (x^{2} - 1) < f (x + 1)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2)$

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二、填空题

13. 在 ${(1 + x)}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数为．

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14. 复数 $\frac{1 + i}{1 - 2 i}$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是．

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15. 已知函数 $y = x^{2}$ 与函数 $y = k x (k > 0)$ 的图象所围成的面积为 $\frac{32}{3}$ ，则实数 $k$ 的值为．

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16. 某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分） $X$ 服从正态分布 $N (110, 10^{2})$ ，从中抽取一个同学的数学成绩 $ξ$ ，记该同学的成绩 $90 < ξ \leq 110$ 为事件 $A$ ，记该同学的成绩 $80 < ξ \leq 100$ 为事件 $B$ ，则在 $A$ 事件发生的条件下 $B$ 事件发生的概率 $P (B | A) =$ ．（结果用分数表示）
附参考数据： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.68$ ； $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.95$ ； $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.99$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + 2$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $4 x - y - 1 = 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最大值．

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18. 约定乒乓球比赛无平局且实行 $5$ 局 $3$ 胜制，甲、乙二人进行乒乓球比赛，甲每局取胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、试求甲赢得比赛的概率；

(2)、当 $p = 0.5$ 时，胜者获得奖金 $800$ 元，在第一局比赛甲获胜后，因特殊原因要终止比赛．试问应当如何分配奖金最恰当？

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19. 为了研究家用轿车在高速公路上的速情况，交通部门对

100

名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在

55

名男性驾驶员中，平均车速超过

100 k m / h

的有

40

人，不超过

100 k m / h

的有

15

人．在

45

名女性驾驶员中，平均车速超过

100 k m / h

的有

20

人，不超过

100 k m / h

的有

25

人.

(1)、完成下面的列联表，并判断是否有

99.5 %

的把握认为平均车速超过

100 k m / h

与性别有关，（结果保留小数点后三位）

	平均车速超过 $100 k m / h$ 人数	平均车速不超过 $100 k m / h$ 人数	合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计

(2)、以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取

10

辆，若每次抽取的结果是相互独立的，问这

10

辆车中平均有多少辆车中驾驶员为男性且车速超过

100 k m / h

？

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）

$P (K^{2} \geq k)$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

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20. 某保险公司拟推出某种意外伤害险，每位参保人交付

50

元参保费，出险时可获得

2

万元的赔付，已知一年中的出险率为

0.15 %

，现有

6000

人参保.

(1)、求保险公司获利在

[6, 12)

（单位：万元）范围内的概率（结果保留小数点后三位）；

(2)、求保险公司亏本的概率．（结果保留小数点后三位）

附： $P (k) = \sum_{i = 0}^{k} C_{6000}^{t} \times {0.0015}^{t} \times {0.9985}^{6000 - t}$ .

$k$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$P (k)$	$0.587$	$0.706$	$0.803$	$0.876$	$0.926$	$0.959$	$0.978$

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21. 已知 $f (x) = \ln \frac{e^{x} - 1}{x}$ .

(1)、求证： $e^{x} x - e^{x} + 1 \geq 0$ 恒成立；

(2)、试求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ，且 $a_{n} > 0$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，求证： $a_{n} > a_{n + 1}$ 恒成立.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ ： $\sqrt{3} x + y - 4 = 0$ ，曲线 $C_{2}$ ： ${\begin{array}{l} x = \cos θ \\ y = 1 + \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、曲线 $C_{3}$ ： ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ （ $t$ 为参数， $t > 0$ ， $0 < α < \frac{π}{2}$ ），分别交 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 于 $A$ ， $B$ 两点，当 $α$ 取何值时， $\frac{| O B |}{| O A |}$ 取得最大值.

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23. 已知不等式 $| 2 x + 1 | + | 2 x - 1 | < 4$ 的解集为 $M$ ．

(1)、求集合 $M$ ；

(2)、设实数 $a \in M, b \notin M$ ，证明： $| a b | + 1 \leq | a | + | b |$ ．

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$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$2.2$	$3.8$	$5.5$	$6.5$	$7.0$