广东省东莞市2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 满足 $1 + z = z i$ ，则复数 $z$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 在一项调查中有两个变量 $x$ 和 $y$ ，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为 $y$ 关于 $x$ 的回归方程的函数类型是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = c + d \sqrt{x}$ C、 $y = m + n x^{2}$ D、 $y = p + q c^{x}$ （ $q > 0$ ）

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3. 对于问题：“已知 $x, y, z$ 是互不相同的正数，求证：三个数 $x + \frac{1}{z}, y + \frac{1}{x}, z + \frac{1}{y}$ 至少有一个数大于2”，用反证法证明上述问题时，要做到的假设是（）

A、 $x + \frac{1}{z}, y + \frac{1}{x}, z + \frac{1}{y}$ 至少有一个不小于2 B、 $x + \frac{1}{z}, y + \frac{1}{x}, z + \frac{1}{y}$ 至少有一个不大于2 C、 $x + \frac{1}{z}, y + \frac{1}{x}, z + \frac{1}{y}$ 都小于等于2 D、 $x + \frac{1}{z}, y + \frac{1}{x}, z + \frac{1}{y}$ 都大于等于2

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4. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 $\frac{9}{30}$ ，下雨的概率为 $\frac{11}{30}$ ，既吹东风又下雨的概率为 $\frac{8}{30}$ ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{8}{11}$

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5. 若身高 $x c m$ 和体重 $y k g$ 的回归模型为 $y = 0 .849 x - 85 .712$ ，则下列叙述正确的是（）

A、身高与体重是负相关 B、回归直线必定经过一个样本点 C、身高 $170 c m$ 的人体重一定时 $58.618 k g$ D、身高与体重是正相关

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6. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \cos x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (x)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知随机变量 $X$ 满足 $E (2 X + 3) = 7, D (2 X + 3) = 16$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $E (X) = \frac{7}{2}, D (X) = \frac{13}{2}$ B、 $E (X) = 2, D (X) = 4$ C、 $E (X) = 2, D (X) = 8$ D、 $E (X) = \frac{7}{4}, D (X) = 8$

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8. 直线 $y = x$ 与曲线 $y = \sqrt{x}$ 围成的封闭图形的面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）

A、16种 B、18种 C、37种 D、48种

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10. $(x + \frac{a}{x}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）

A、-40 B、-20 C、20 D、40

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11. 分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和： $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ ， $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$ ， $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20}$ ，……，依此类推得： $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{72} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90} + \frac{1}{110} + \frac{1}{132} + \frac{1}{156}$ ，则 $m n =$ （）

A、228 B、240 C、260 D、273

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12. 若函数 $f (x) = {\begin{cases} \frac{x}{e^{x}} ， x \geq 0 \\ x^{2} + 3 x ， x < 0 \end{cases} \begin{matrix} \end{matrix}$ ， $g (x) = {\begin{cases} f (x) ， x \leq a \\ - x + 2 ， x > a \end{cases}$ ，且 $g (x)$ 有三个零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0，2)$ B、 $[0，2]$ C、 $[- 3，0]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. $\int_{- π}^{π} (\sin x + 3 x^{2}) d x =$ ．

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14. 若曲线 $y = x^{3} - a x (a \in R)$ 在点 $x_{0} = 1$ 处的切线斜率为1，则该切线方程为．

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15. 设 $A$ 、 $B$ 两队进行某类知识竞赛，竞赛为四局，每局比赛没有平局，前三局胜者均得1分，第四局胜的一队得2分，各局负者都得0分，假设每局比赛 $A$ 队获胜的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且各局比赛相互独立，则比赛结束时 $A$ 队得分比 $B$ 队高3分的概率为．

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16. 已知函数 $f (x) = 3 \sin 2 x + \sin x ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z_{1} = 1 - a i (a \in R)$ ，复数 $z_{2}$ 的共轭复数 $\bar{z_{2}} = 3 - 4 i$ .

(1)、若 $z_{1} + z_{2} \in R$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是纯虚数，求 $| z_{1} |$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + b x + 1$ ，当 $x = 3$ 时，函数 $f (x)$ 有极小值 $- 8$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 4]$ 上的值域.

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19. 某仪器配件质量采用

M

值进行衡量，某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件，为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔

30 \min

分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其

M

值，下面是甲、乙两条生产线各抽取的30个配件

M

值茎叶图.

经计算得 ${\bar{x}}_{甲} = \frac{1}{30} \sum_{i = 1}^{30} x_{i} = 40.5$ ， $s_{甲} = \sqrt{\frac{1}{30} \sum_{i = 1}^{30} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 12.3$ ， ${\bar{x}}_{乙} = \frac{1}{30} \sum_{i = 1}^{30} y_{i} = 39.5$ ， $s_{乙} = \sqrt{\frac{1}{30} \sum_{i = 1}^{30} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 12.5$ ，其中 $x_{i} ， y_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 30)$ 分别为甲，乙两生产线抽取的第 $i$ 个配件的 $M$ 值.

(1)、若规定

M \in (\bar{x} - 3 s ， \bar{x} + 3 s)

的产品质量等级为合格，否则为不合格.已知产品不合格率需低于

5 %

，生产线才能通过验收，利用样本估计总体，分析甲，乙两条生产线是否可以通过验收；

(2)、若规定

M \in (\bar{x} - s ， \bar{x} + s)

时，配件质量等级为优等，否则为不优等，试完成下面的

2 \times 2

列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“配件质量等级与生产线有关”？

	产品质量等级优等	产品质量等级不优等	合计
甲生产线
乙生产线
合计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.01	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线方程为 $x + y + 1 = 0$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 无零点，求 $a$ 的取值范围.

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21. 2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用

3 + 1 + 2

模式，其中“3”是指语文、数学、外语；“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史；第二环节的选考科目已确定的有30人，待确定的有20人，具体调查结果如下表：

	选考方案确定情况	化学	生物	政治	地理
物理	选考方案确定的有18人	16	11	5	4
物理	选考方案待确定的有14人	5	5	0	0
历史	选考方案确定的有12人	3	5	4	12
历史	选考方案待确定的有6人	0	0	3	2

(1)、估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？

(2)、从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量

X = {\begin{matrix} 0, 两 名 学 生 选 考 方 案 不 同 \\ 1. 两 名 学 生 选 考 方 案 相 同 \end{matrix}

，求

X

的分布列及数学期望

E (X)

(3)、在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数.（只需写出结果）

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22. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + a e^{x} + (a - 2) x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) > \frac{2 - a}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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