广东省潮州市2018-2019学年高二下学期理数期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-06-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = {(1 + i)}^{2} i$ ( $i$ 为虚数单位)等于（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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2. 一位母亲根据儿子 $3 - 9$ 岁身高的数据建立了身高 $y (c m)$ 与年龄 $x$ (岁)的回归模型 $y = 7.19 x + 73.93$ ，用这个模型预测这个孩子 $10$ 岁时的身高，则正确的叙述是（）

A、身高在 $145.83 c m$ 左右 B、身高一定是 $145.83 c m$ C、身高在 $145.83 c m$ 以上 D、身高在 $145.83 c m$ 以下

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3. “四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（）

A、正方形都是对角线相等的四边形 B、矩形都是对角线相等的四边形 C、等腰梯形都是对角线相等的四边形 D、矩形都是对边平行且相等的四边形

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，若 $a_{1} = 1, a_{5} = 16,$ 则 $a_{3}$ 的值为（）

A、4 B、4或-4 C、2 D、2或-2

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5. 在某项测量中，测量结果 $X ~ N (0, σ^{2})$ ，且 $σ > 0$ ，若 $X$ 在 $(0, 1)$ 内取值的概率为 $0.3$ ,则 $X$ 在 $(1, + \infty)$ 内取值的概率为（）

A、 $0.1$ B、 $0.2$ C、 $0.3$ D、 $0.4$

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6. 在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线 $y = \cos x (0 \leq x \leq \frac{3 π}{2})$ 所围成的图形的面积为（）

A、 $2$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $3$ D、 $4$

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7. 欧拉公式e^ix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e²ⁱ表示的复数在复平面中对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 函数 $y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 1$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 某同学通过英语听力测试的概率为 $\frac{1}{2}$ ，他连续测试 $n$ 次，要保证他至少有一次通过的概率大于 $0.9$ ，那么 $n$ 的最小值是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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10. 函数 $f (x) = l n x - a x$ 在区间 $(1 ， 5)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{5})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{5}]$

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11. 不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x²、b²、y²三数(　　)

A、成等比数列而非等差数列 B、成等差数列而非等比数列 C、既成等差数列又成等比数列 D、既非等差数列又非等比数列

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12. 当 $x \in (\frac{1}{2} ， 1)$ 时，函数 $f (x) = x l n x$ ，则下列大小关系正确的是（）

A、 ${[f (x)]}^{2} < f (x^{2}) < f (x)$ B、 $f (x^{2}) < {[f (x)]}^{2} < f (x)$ C、 $f (x) < f (x^{2}) < {[f (x)]}^{2}$ D、 $f (x^{2}) < f (x) < {[f (x)]}^{2}$

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二、填空题

13. 在 ${(1 + x)}^{n} (n \in N *)$ 的二项展开式中，若只有 $x^{5}$ 的系数最大，则 $n =$ ．

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14. 函数 $y = 4 x^{2} + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值为．

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15. 从字母 $a, b, c, d, e, f$ 中选出 $4$ 个字母排成一排，其中一定要选出 $a$ 和 $b$ ，并且它们必须相邻( $a$ 在 $b$ 前面)，共有排列方法种.

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16. 已知 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的连续可导函数，当 $x \neq 0$ 时， $f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x} > 0$ ，则函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{x}$ 的零点有个．

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三、解答题

17. 在二项式 ${(\frac{2}{x} + x^{3})}^{n} (n \in N *)$ 的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等.

(1)、求 $n$ 的值，并求所有项的二项式系数的和;

(2)、求展开式中的常数项.

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18. 某超市为了解气温对某产品销售量的影响，随机记录了该超市12月份中 $5$ 天的日销售量 $y$ (单位：千克)与该地当日最低气温 $x$ (单位： $^{0} C$ )的数据，如下表所示：

$x$

$2$

$5$

$7$

$9$

$12$

$y$

$12$

$10$

$9$

$8$

$6$

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；（精确到 $0.001$ ）

(2)、判断 $y$ 与 $x$ 之间是正相关还是负相关；若该地12月份某天的最低气温为 $6 ° C$ ，请用（1）中的回归方程预测该超市当日的销售量.
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 2 \times 12 + 5 \times 10 + 7 \times 9 + 9 \times 8 + 12 \times 6 = 281$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 2^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 12^{2} = 303$

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19. 在各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a$ 且 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{2}{a_{n}}$ .

(1)、当 $a_{3} = 2$ 时，求 $a$ 的值；

(2)、求证:当 $n \geq 2$ 时， $a_{n + 1} \leq a_{n}$ .

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20. 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研:项目 A :通信设备.根据调研,投资到该项目上，所有可能结果为:获利 $40 %$ 、损失 $20 %$ 、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 $\frac{7}{12}, \frac{1}{6}, a$ ；项目 B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为:获利 $30 %$ 、亏损 $10 %$ ，且这两种情况发生的概率分别为 b，c .经测算，当投入 A，B 两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.

(1)、求a，b，c的值;

(2)、若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{k x}$ ( $k \in R ， e$ 为自然对数的底数).

(1)、若 $k = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、在(1)的条件下，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 上的最大值和最小值.

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22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ (其中 $t$ 为参数）.现以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 6 cos θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P$ 坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x + 1 |, x \in R$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 9$ ；

(2)、若方程 $f (x) = - x^{2} + a$ 在区间 $[0, 2]$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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$x$	$2$	$5$	$7$	$9$	$12$
$y$	$12$	$10$	$9$	$8$	$6$