浙江省杭州市2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1, 2, 4}$ ， $B = {3, 4}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${1, 4}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${1, 2, 3, 4}$

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2. 直线 $x + 3 y + 4 = 0$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、 $3$

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3. 函数 $y = \log_{2} {(x - 1)}^{2}$ 的定义城是（）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | x < 1}$ C、 ${x | x \neq 1}$ D、 $R$

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4. 在 $Δ A B C$ 中， $a^{2} = b^{2} + c^{2} + \sqrt{3} b c$ ，则 $∠ A =$ （）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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5. 一个空间几何体的三规图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $4$

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6. 若平面四边形ABCD满足 $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0} ， (\vec{A B} - \vec{A D}) \cdot \vec{A C} = 0$ ，则该四边形一定是（）

A、正方形 B、矩形 C、菱形 D、直角梯形

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7. 已知 $- 1$ ， $a$ ， $b$ ， $- 5$ 成等差数列， $- 1$ ， $c$ ， $- 4$ 成等比数列，则 $a + b + c =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 6$ C、 $- 6$ 或 $- 4$ D、 $- 8$ 或 $- 4$

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8. 设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \geq | b |$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 函数f（x）＝（x²﹣2x）e^x的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 设 $m$ ， $n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / n$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $m / / α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ β$

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11. 设实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \geq 2 ， \\ x + 2 y \geq 3 ， \\ x \geq 0 ， y \geq 0. \end{array}$ 则 $x + 3 y$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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12. 若 $α$ 是第四象限角， $\sin (\frac{π}{3} + α) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\sin (\frac{π}{6} - α) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $- \frac{12}{13}$

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13. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，设直线 $l : y = k x + 1 (k \in R)$ 交椭圆 $E$ 所得的弦长为 $L$ .则下列直线中，交椭圆 $E$ 所得的弦长不可能等于 $L$ 的是（）

A、 $m x + y + m = 0$ B、 $m x + y - m = 0$ C、 $m x - y - 1 = 0$ D、 $m x - y - 2 = 0$

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14. 设 $F (a, b) = \frac{a + b}{2} - \frac{| a - b |}{2}$ .若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域是 $R$ .则下列说法错误的是（）

A、若 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是增函数，则函数 $F (f (x), g (x))$ 为增函数 B、若 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是减函数，则函数 $F (f (x), g (x))$ 为减函数 C、若 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是奇函数，则函数 $F (f (x), g (x))$ 为奇函数 D、若 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是偶函数，则函数 $F (f (x), g (x))$ 为偶函数

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15. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是对角线 $A C_{1}$ 上一点， $Q$ 是底面 $A B C D$ 上一点，若 $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = A A_{1} = 1$ ，则 $P B {}_{1}+ P Q$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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二、填空题

16. 若双曲线 $C : \frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的渐近线与圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r =$ .

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17. 已知 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 是单位向量.若 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | \geq | 2 \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{a} |$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 夹角的取值范围是.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $n \cdot 3^{n + 1}$ .若 $a_{1} = 3$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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19. 如图，已知正三棱锥 $A B C D$ ， $B C = C D = B D = \sqrt{3}$ ， $A B = A C = A D = 2$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别在核 $B C$ ， $C D$ 上（不包含端点），则直线 $A P$ ， $B Q$ 所成的角的取值范围是.

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三、解答题

20. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin^{2} x + \sin x \cos x$ .
（I）求 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ ；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的值域.

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21. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A A_{1} = A B = \sqrt{3} A C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点.

（I）证明： $B_{1} C / /$ 面 $B A_{1} D$ ；

（Ⅱ）求直线 $B C_{1}$ 与平面 $B A_{1} D$ 所成角的正弦值.

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22. 设数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ .若 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列.
（I）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1}^{2} - 1} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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23. 已知直线 $l$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $Q$ 为线段 $M N$ 的中点.

（I）当直线 $l$ 经过抛物线 $C$ 的焦点， $| M N | = 6$ 时，求点 $Q$ 的横坐标；

（Ⅱ）若 $| M N | = 5$ ，求点 $Q$ 横坐标的最小值，井求此时直线 $l$ 的方程.

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24. 设 $a$ ， $k \in R$ ，已知函数 $f (x) = x^{2} - | x - a | + k a$ .
（I）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调增区间；

（Ⅱ）若对于任意 $a \in [0 ， \frac{1}{6}]$ ，函数 $f (x)$ 至少有三个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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