广东省深圳市南山区2018-2019学年高二下学期文数质量监测试卷

试卷更新日期：2020-06-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. “ $a > b$ ”是“ $\lg a > \lg b$ ”的（）条件.

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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2. 在△ABC中，若 $b = \sqrt{2} a \sin B$ ，则A=（）

A、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3π}{4}$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n ，若 $a_{1} + a_{12} = 6$ ，则S₁₂=（）

A、6 B、12 C、18 D、36

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4. 已知 $F_{1} (- \sqrt{2} ， 0)$ 、 $F_{2} (\sqrt{2} ， 0)$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过F₁的直线l交椭圆C于A、B两点.若 $Δ A B F_{2}$ 周长是 $4 \sqrt{3}$ ，则该椭圆方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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5. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、 $\frac{11}{2}$

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6. 若x、y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \geq 0 \\ 2 x - y - 3 \leq 0 \\ y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则2x+y的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、7

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7. 若命题“存在 $x_{0} \in R$ ，使 $x^{2} + m x + \frac{1}{4} < 0$ ”是假命题，则实数m的取值范围是（）

A、(-∞，-1) B、(-∞，2) C、[-1，1] D、(-∞，0)

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8. 在△ABC中，已知 $b = c$ ， $\sin A = \sqrt{3} \sin B$ ，则A等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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9. 直线l过点 $(\sqrt{3} ， 0)$ 且与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 仅有一个公共点，这样的直线有（）条.

A、1 B、2 C、3 D、不确定

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10. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n ，已知 $a_{1} a_{2} = 2 a_{1}$ ，且a₂与2a₁的等差中项为 $\frac{5}{3}$ ，则 $S_{4}$ =（）

A、31 B、53 C、 $\frac{63}{2}$ D、 $\frac{80}{3}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 x^{2} f^{'} (1) + \ln x$ ，则 $f^{'} (2)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{13}{6}$ C、-1 D、-2

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12. 过双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ 的右支上一点 $P$ ，分别向圆 $C_{1} : {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 作切线，切点分别为 $M, N$ ，则 ${| P M |}^{2} - {| P N |}^{2}$ 的最小值为（）

A、10 B、13 C、16 D、19

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二、填空题

13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的离心率为.

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14. 不等式 $\frac{1 - x}{x} < 2$ 的解集是.

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15. 曲线 $y = 2 x + \frac{1}{x}$ 在点(1,3)处的切线方程为.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 a x - a \ln x$ 在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是.

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三、解答题

17. 设命题p: $\exists a \in R$ ， $| a - 3 | < 2$ ；命题q: $\forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 1 > 0$ ，如果命题“ $p \lor q$ ”为真命题，命题“ $p \land q$ ”为假命题，求实数a的取值范围.

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18. 已知抛物线E的焦点F在x轴正半轴上，其弦AB过点F且垂直于x轴，若 $| A B | = 4$ .

(1)、求抛物线E的标准方程；

(2)、设M，N是抛物线E上不重合两点，M与N两点的纵坐标之和为4，求直线MN的斜率.

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19. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $\sin B = 2 \sqrt{3} \cos^{2} \frac{B}{2} - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $\tan B$ ；

(2)、若 $a + c = 4$ ， $b = 2$ ，求△ABC的面积.

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20. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为2的等比数列，且 $\frac{a_{3} + a_{4}}{a_{1} + a_{2}} = a_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = (n + 1) \log_{2} a_{n}$ ，是否存在正整数k，使得 $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \dots + \frac{1}{b_{n}} < k$ 对于 $\forall n \in N^{+}$ 恒成立.若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - 2 a \ln x (a \in R)$

(1)、若 $g (x) = f (x) + 3 x$ ，当 $a = 1$ 时，求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有唯一的零点，求实数a的取值范围.

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22. 已知椭圆 $E$ 中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，且其焦点和短轴端点都在圆 $C : x^{2} + y^{2} = 2$ 上.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、点 $P$ 是圆 $C$ 上一点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线交椭圆 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ 的最大值.

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