广西钦州市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图是一个几何体的三视图，它对应的几何体的名称是（）

A、棱台 B、圆台 C、圆柱 D、圆锥

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2. 集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $N = {x | x \geq 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 0}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$

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3. 圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ 关于原点对称的圆的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$

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4. 圆心在(-1，0)，半径为 $\sqrt{5}$ 的圆的方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 5$ B、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 25$ C、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = \sqrt{5}$ D、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 25$

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5. 已知 $a > b$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $a - b > b - a$

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6. 两条平行直线 $2 x - y - \sqrt{5} = 0$ 与 $4 x - 2 y + 3 \sqrt{5} = 0$ 间的距离等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A C$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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8. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积等于（）

A、 $36 π$ B、480 C、 $\frac{256 π}{3}$ D、 $\frac{500 π}{3}$

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9. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} a_{2} = 2$ ， $a_{2} a_{4} = 16$ ，则公比 $q$ 等于（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt[4]{8}$ D、 $2 \sqrt[3]{4}$

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10. 设变量 $x ， y$ 、满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \geq 2 \\ y \geq 3 x - 6 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、9

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11. 若a，b，c表示三条不重合的直线， $β$ ， $γ$ 表示两个不同的平面，则下列命题中，正确的个数是（    ）
①若 $a / / β$ ， $b / / β$ ，则 $a / / b$         ② $a \subset β$ ， $b \subset γ$ ， $β / / γ$ ，则 $a / / b$

③若 $a ⊥ c$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a / / b$          ④若 $a ⊥ β$ ， $b ⊥ β$ ，则 $a / / b$

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别为a，b，c， $\cos^{2} \frac{A}{2} = \frac{b + c}{2 c}$ ，则 $Δ A B C$ 的形状一定是（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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13. 在 $Δ A B C$ 中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $C = 120 °$ ，则其面积等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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14. 经过原点且倾斜角为 $60 °$ 的直线被圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{3} y + a = 0$ 截得的弦长是 $2 \sqrt{13}$ ，则圆C在x轴下方部分与x轴围成的图形的面积等于（）

A、 $\frac{8 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ B、 $\frac{16 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{8 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{16 π}{3} - 2 \sqrt{3}$

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15. 直线l：3x+4y+5=0被圆M：（x–2）²+（y–1）²=16截得的弦长为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、5 C、 $2 \sqrt{7}$ D、10

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二、填空题

16. 直线 $2 x - 3 y + 12 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距是.

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17. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ，则 $a_{5} =$ .

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18. 函数 $y = \log_{2} (x + \frac{16}{x})$ （ $x > 0$ ）的值域是.

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19. 已知 $a > 0$ ，则 $\frac{3}{2 a} + 4 a$ 的最小值为．

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20. 如图，缉私艇在A处发现走私船在方位角 $45 °$ 且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度沿方位角 $105 °$ 的方向逃窜，缉私艇立即以每小时14海里的速度追击，则缉私艇追上走私船所需要的时间是小时.

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三、解答题

21. 已知直线 $l_{1}$ 经过点 $P (1, 2)$ ，斜率为1.

(1)、求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ : $y = 2 x + b$ 的交点在第二象限，求b的取值范围.

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22. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 12$ ， $d = 2$ .

(1)、求通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 $S_{n} > 20 n$ ，求 $n$ 的最小值.

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23. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $B C = 8$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $\cos ∠ A B C = - \frac{1}{2}$ .

(1)、在 $Δ A B C$ 中，求 $A C$ 的长；

(2)、若 $Δ B C D$ 的面积等于 $20 \sqrt{3}$ ，求 $B D$ 的长.

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24. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点.

(1)、求证： $A D / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ .

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25. 已知圆C的半径是2，圆心在直线 $y = x$ 上，且圆 $C$ 与直线 $3 x - 4 y - 7 = 0$ 相切.

(1)、求圆C的方程；

(2)、若点P是圆C上的动点，点Q在x轴上， $| P Q |$ 的最大值等于7，求点Q的坐标.

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26. 已知圆C的半径是2，圆心为 $(3, 3)$ .

(1)、求圆C的方程；

(2)、若点P是圆C上的动点，点Q在x轴上， $| P Q |$ 的最大值等于7，求点Q的坐标.

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27. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} - k a_{n - 1} = 2^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ），且 $a_{2} = 8$ ， $a_{3} = 24$ .

(1)、求 $a_{1}$ 和k的值；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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