广西贺州市2018-2019学年高一下学期理数期末质量检测试卷

试卷更新日期：2020-06-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果全集 $U = {x \in N^{*} | x < 5}$ ， $M = {1, 2}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1, 2}$ C、 ${3, 4}$ D、 ${0, 3, 4}$

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2. 函数 $f (x) = tan (4 x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期是 $($ $)$

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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3. 已知点 $P (sin 1050^{\circ} ， cos 1050^{\circ})$ ，则P在平面直角坐标系中位于 $($ $)$

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 若 $a = \log_{5} 0.2, b = 2^{0.5}, c = {0.5}^{2}$ ，则 $a, b, c$ 三个数的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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5. 已知m ，n是两条不同的直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ B、若 $m / / n ， m / / α$ ，则 $n / / α$ C、若 $α \cap β = n$ ， $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $m / / n$ D、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$

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6. 某学生用随机模拟的方法推算圆周率 $π$ 的近似值，在边长为 $2$ 的正方形内有一内切圆，向正方形内随机投入 $1000$ 粒芝麻，（假定这些芝麻全部落入该正方形中）发现有 $795$ 粒芝麻落入圆内，则该学生得到圆周率 $π$ 的近似值为（）

A、3.1 B、3.2 C、3.3 D、3.4

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7. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{7}{12}$

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、（5+ $\sqrt{5}$ ）π B、（20+2 $\sqrt{5}$ ）π C、（10+ $\sqrt{10}$ ）π D、（5+2 $\sqrt{5}$ ）π

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9. 函数 $y = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ 的图象向右平移 $φ$ （ $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）个单位后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $y = g (x)$ 为偶函数，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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10. 若 $α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ， $\cos (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}, \cos (\frac{π}{4} + \frac{β}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ,则 $\cos (α - \frac{β}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{9}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$

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11. 已知点O是 $Δ A B C$ 所在平面内的一定点，P是平面 $A B C$ 内一动点，若 $\overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{O A} + λ (\overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{B C}) ， λ \in (0 ， + \infty)$ ，则点P的轨迹一定经过 $Δ A B C$ 的（）

A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心

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12. 用区间 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.8] = 1 ， [- 1.3] = - 2$ ，设 ${x} = x - [x]$ ，若方程 ${x} + k x - 1 = 0$ 有且只有3个实数根，则正实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{3}]$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{3})$

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二、填空题

13. 已知直线y=b(0＜b＜1)与函数f(x)=sinωx(ω＞0)在y轴右侧依次的三个交点的横坐标为x₁= $\frac{π}{4}$ ,x₂= $\frac{3 π}{4}$ ,x₃= $\frac{9 π}{4}$ ,则ω的值为

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，对任意实数 $x$ 满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ， $f (1) = 2$ ，则 $f (2019) + f (2020) =$ .

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15. 不论k为何实数，直线 $(2 k - 1) x - (k + 3) y - (k - 11) = 0$ 通过一个定点，这个定点的坐标是.

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16. 设 $O$ 为 $Δ A B C$ 内一点，且满足关系式 $\overset{⇀}{O A} + 2 \overset{⇀}{O B} + 3 \overset{⇀}{O C} = 3 \overset{⇀}{A B} + 2 \overset{⇀}{B C} + \overset{⇀}{C A}$ ，则 $S_{△ A O B} ： S_{Δ B O C} ： S_{Δ C O A} =$ .

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三、解答题

17. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 2, 4), \vec{c} = (- 2, m)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求 $| \vec{c} |$ ；

(2)、若 $\overset{⇀}{k \vec{a}} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 共线，求k的值.

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18. 如图，已知以点 $A (- 1 ， 2)$ 为圆心的圆与直线 $l_{1} ： x + 2 y + 7 = 0$ 相切．过点 $B (- 2 ， 0)$ 的动直线 $l$ 与圆A相交于M，N两点，Q是 $M N$ 的中点，直线 $l$ 与 $l_{1}$ 相交于点P．

(1)、求圆A的方程；

(2)、当 $| M N | = 2 \sqrt{19}$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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19. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第 $i$ 个家庭的月收入 $x_{i}$ （单位：千元）与月储蓄 $y_{i}$ ，（单位：千元）的数据资料，算出 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 80, \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 20 ， \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 184, \sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 720$ ，附：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}, \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，其中 $\bar{x}, \bar{y}$ 为样本平均值.

(1)、求家庭的月储蓄 $y$ 对月收入x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.

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20. 如图， $A B C D$ 是平行四边形， $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B E // A P$ ， $A B = A P = 2$ ， $B E = B C = 1$ ， $∠ C B A = 60^{\circ}$ .

(1)、求证： $E C //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P A B E$ 所成角的正弦值.

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21. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照 $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ... ， [90 ， 100]$ 分成5组，制成如图所示频率分直方图.

(1)、求图中x的值；

(2)、求这组数据的平均数和中位数；

(3)、已知满意度评分值在 $[50 ， 60)$ 内的男生数与女生数3：2，若在满意度评分值为 $[50 ， 60)$ 的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

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22. 已知函数 $f (x) = 4 {sin}^{2} (\frac{π}{4} + \frac{x}{2}) sin x + (cos x + sin x) (cos x - sin x) - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{1}{2} [f (2 x) + a f (x) - a f (\frac{π}{2} - x) - a] - 1$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 的最大值为2，求实数 $a$ 的值.

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