吉林省五地六市联盟2018-2019学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $i \cdot z = 3 + 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z}$ =（）

A、 $2 + 3 i$ B、 $2 - 3 i$ C、 $- 2 + 3 i$ D、 $- 2 - 3 i$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，则 $i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2019}$ 等于（）

A、i B、1 C、-i D、-1

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3. 小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少（）

A、23分钟 B、24分钟 C、26分钟 D、31分钟

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4. 在一组样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n}) (n \geq 2, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 不全相等)的散点图中，若所有样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 都在直线 $y = - \frac{1}{5} x + 1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A、－1 B、1 C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 下列说法正确的个数有（）
（1）已知变量 $x$ 和 $y$ 满足关系 $y = - 2 x + 3$ ，则 $x$ 与 $y$ 正相关；（2）线性回归直线必过点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ ；（3）对于分类变量 $A$ 与 $B$ 的随机变量 $k^{2}$ ， $k^{2}$ 越大说明“A与B有关系”的可信度越大（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数 $R^{2}$ 的值越大，说明拟合的效果越好.

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：

根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）

A、样本中的男生数量多于女生数量 B、样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 C、样本中多数男生喜欢手机支付 D、样本中多数女生喜欢现金支付

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7. 用分析法证明：欲使 $A > B$ ，只需 $C < D$ ，这里 $C < D$ 是 $A > B$ 的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 设函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{6}) \cos x + \sin x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{3} ） =$ （）

A、1 B、0 C、2 D、3

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9. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x |}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则（）

A、 $f (- 3) < f (- \log_{3} 13) < f (2^{0.6})$ B、 $f (- 3) < f (2^{0.6}) < f (- \log_{3} 13)$ C、 $f (2^{0.6}) < f (- \log_{3} 13) < f (- 3)$ D、 $f (2^{0.6}) < f (- 3) < f (\log_{3} 13)$

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11. 已知定义域 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = x^{3}$ ，则 $f (\frac{21}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{27}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{27}{8}$

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12. 设函数 $f （ x ）$ 是定义在 $（ ﹣ \infty ， 0 ）$ 上的可导函数，其导函数为 $f^{'} （ x ）$ ，且有 $2 f （ x ） + x f^{'} （ x ） > x^{2}$ ，则不等式 $（ x + 2019 ）^{2} f （ x + 2019 ） ﹣ 4 f （ ﹣ 2 ） < 0$ 的解集为（）

A、 $（ ﹣ 2019 ， ﹣ 2017 ）$ B、 $（ ﹣ 2019 ， ﹣ 2018 ）$ C、 $（ ﹣ 2021 ， ﹣ 2019 ）$ D、 $（ ﹣ 2020 ， ﹣ 2019 ）$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上是增函数， $a, b \in R$ ，对于命题“若 $a + b \geq 0$ ，则 $f (a) + f (b) \geq f (- a) + f (- b)$ ”，有下列结论：
①此命题的逆命题为真命题；

②此命题的否命题为真命题；

③此命题的逆否命题为真命题；

④此命题的逆命题和否命题有且只有一个为真命题.

其中正确的结论的序号为.

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14. 刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式 $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdot \cdot \cdot}}$ 是一个确定值x(数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式 $= x$ ，则 $2 + \frac{1}{x} = x$ ，即 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，解得 $x = 1 \pm \sqrt{2}$ ，取正数得 $x = \sqrt{2} + 1$ .用类似的方法可得 $\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \cdot \cdot \cdot}}} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， & x \leq 0 \\ 2 - | x - 1 | ， & x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = 2020^{x} + \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - 2020^{- x} + 1$ ，则不等式 $f (2 x - 1) + f (2 x) > 2$ 的解集为.

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三、解答题

17. 已知 $y = 2^{x}, x \in [2, 4]$ 的值域为集合A， $y = \log_{2} [- x^{2} + (m + 3) x - 2 (m + 1)]$ 定义域为集合B，其中 $m \neq 1$ ．

(1)、当 $m = 4$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、设全集为R，若 $A \subseteq C_{R} B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知 $f (x) = \frac{1}{3^{x} + \sqrt{3}}$ ,分别求 $f (0) + f (1)$ , $f (- 1) + f (2)$ , $f (- 2) + f (3)$ 的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.

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19. 已知定义域为R的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x} + a}$ 是奇函数，其中 $a ， b$ 为实数.

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在R上是减函数；

(3)、若对于任意的 $t \in [- 2 ， 2]$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (- 2 t^{2} + k) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 汽车尾气中含有一氧化碳

(C O)

，碳氢化合物

(H C)

等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气之中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废，某环境组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、若从这100人中任选

1

人，选到了解强制报废标准的人的概率为

\frac{3}{5}

，问是否在犯错的概率不超过5%的前提下认为“机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？

(2)、该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中

CO

浓度的数据，并制成如图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过

15

年，可近似认为排放的尾气中

CO

浓度

y

%与使用年限

t

线性相关，确定

y

与

t

的回归方程，并预测该型号的汽车使用

12

年排放尾气中的

CO

浓度是使用

4

年的多少倍.

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{a}{2} x^{2} - x$ $(a \in R)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = e$ 处切线的斜率为-1，求此切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，求a的取值范围，并证明： $x_{1} x_{2} > x_{1} + x_{2}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （t为参数， $0 < α < π$ ），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{2} \cos ϕ \\ y = - 1 + \sqrt{2} \sin ϕ \end{matrix}$ （ $ϕ$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、设曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的交点分别为 $A, B, M (2 ， 0)$ ，求 ${| M A |}^{2} + {| M B |}^{2}$ 的最大值及此时直线 $C_{1}$ 的倾斜角.

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23. 已知函数 $f (x) = | 1 - x - a | + | 2 a - x |$
（Ⅰ）若 $f (1) < 3$ ，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若 $a \geq \frac{2}{3}, x \in R$ ，判断 $f (x)$ 与 $1$ 的大小关系并证明.

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