吉林省五地六市联盟2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $i \cdot z = 3 + 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z}$ =（）

A、 $2 + 3 i$ B、 $2 - 3 i$ C、 $- 2 + 3 i$ D、 $- 2 - 3 i$

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2. 已知复数z在复平面上对应的点为 $Z (2, - 1)$ ，则（）

A、 $z = - 1 + 2 i$ B、 $| z | = 5$ C、 $z$ 对应的向量为 $(- 2 ， 1)$ D、 $z - 2$ 是纯虚数

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3. 随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (ξ < 2) = 0.2$ ， $P (2 < ξ < 6) = 0.6$ ，则 $μ =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件 $A, B$ 中恰有一个发生的概率是（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{7}$

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5. 在二项式 ${(1 - 2 x)}^{n}$ 的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（）

A、-960 B、960 C、1120 D、1680

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6. 用数学归纳法证明： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} + \dots + 2^{2} + 1^{2} = \frac{n (2 n^{2} + 1)}{3}$ ，第二步证明由 $" k$ 到 $k + 1 "$ 时，左边应加（）

A、 $k^{2}$ B、 ${(k + 1)}^{2}$ C、 $k^{2} + {(k + 1)}^{2} + k^{2}$ D、 ${(k + 1)}^{2} + k^{2}$

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7. 一物体在力 $F (x) = {\begin{array}{l} 5, 0 \leq x \leq 2 \\ 3 x + 4, x > 2 \end{array} \begin{matrix} \end{matrix}$ （单位:N）的作用下沿与力F相同的方向，从 $x = 0$ 处运动到 $x = 4$ 处（单位 $: m)$ ，则力 $F (x)$ 所做的功为（）

A、54焦 B、40焦 C、36焦 D、14焦

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8. 一只袋内装有m个白球， $n - m$ 个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于 $\frac{（ n - m) A_{m}^{2}}{A_{n}^{3}}$ 的是（）

A、 $P (X = 3)$ B、 $P (X \geq 2)$ C、 $P (X \leq 3)$ D、 $P (X = 2)$

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9. 已知随机变量X服从二项分布 $X ~ B (n, p)$ ，且 $E (X) = 2, D (X) = 1$ ，则 $P (X = 3) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A，B两个贫困县各有15名村代表，最终A县有5人表现突出，B县有3人表现突出，现分别从A，B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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11. 设函数 $f （ x ）$ 是定义在 $（ ﹣ \infty ， 0 ）$ 上的可导函数，其导函数为 $f^{'} （ x ）$ ，且有 $2 f （ x ） + x f^{'} （ x ） > x^{2}$ ，则不等式 $（ x + 2019 ）^{2} f （ x + 2019 ） ﹣ 4 f （ ﹣ 2 ） < 0$ 的解集为（）

A、 $（ ﹣ 2019 ， ﹣ 2017 ）$ B、 $（ ﹣ 2019 ， ﹣ 2018 ）$ C、 $（ ﹣ 2021 ， ﹣ 2019 ）$ D、 $（ ﹣ 2020 ， ﹣ 2019 ）$

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12. 若点 $A (t ， 0)$ 与曲线 $y = e^{x}$ 上点P的距离的最小值为 $2 \sqrt{3}$ ，则实数t的值为（）

A、 $4 - \frac{\ln 2}{3}$ B、 $4 - \frac{\ln 2}{2}$ C、 $3 + \frac{\ln 2}{3}$ D、 $3 + \frac{\ln 3}{2}$

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二、填空题

13. 在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决的问题是：.(写出一条即可)

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14. 刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式 $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdot \cdot \cdot}}$ 是一个确定值x(数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式 $= x$ ，则 $2 + \frac{1}{x} = x$ ，即 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，解得 $x = 1 \pm \sqrt{2}$ ，取正数得 $x = \sqrt{2} + 1$ .用类似的方法可得 $\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \cdot \cdot \cdot}}} =$ .

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15. 已知 $(x^{2} + 1) {(x - 2)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{11} x^{11}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{11}$ 的值为.

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16. 设 $f (x) = x^{3} - x$ ，过下列点 $A (0, 0), B (0, 2), C (2, - 1), D (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9}), E (- 2, 0)$ 分别作曲线 $f (x)$ 的切线，其中存在三条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切的点是．

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三、解答题

17. $7$ 人站成两排队列，前排3人，后排4人.

(1)、一共有多少种站法；

(2)、现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法.

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18. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求证： $\frac{| \vec{a} | + | \vec{b} |}{| \vec{a} + \vec{b} |} \leq \sqrt{2}$ ．

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19. 某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，
方案一：每满200元减50元；

方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）

红球个数

3

2

1

0

实际付款

半价

7折

8折

原价

(1)、若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；

(2)、若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？

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20. 汽车尾气中含有一氧化碳

(C O)

，碳氢化合物

(H C)

等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气之中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废，某环境组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、若从这100人中任选

1

人，选到了解强制报废标准的人的概率为

\frac{3}{5}

，问是否在犯错的概率不超过5%的前提下认为“机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？

(2)、该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中

CO

浓度的数据，并制成如图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过

15

年，可近似认为排放的尾气中

CO

浓度

y

%与使用年限

t

线性相关，确定

y

与

t

的回归方程，并预测该型号的汽车使用

12

年排放尾气中的

CO

浓度是使用

4

年的多少倍.

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21. 已知函数 $f (x) = a x \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - (a^{2} + a) x$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x) > 0$ ；

(2)、若 $f (x)$ 只有一个极值点，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （t为参数， $0 < α < π$ ），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{2} \cos ϕ \\ y = - 1 + \sqrt{2} \sin ϕ \end{matrix}$ （ $ϕ$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、设曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的交点分别为 $A, B, M (2 ， 0)$ ，求 ${| M A |}^{2} + {| M B |}^{2}$ 的最大值及此时直线 $C_{1}$ 的倾斜角.

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23. 已知函数 $f (x) = | 1 - x - a | + | 2 a - x |$
（Ⅰ）若 $f (1) < 3$ ，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若 $a \geq \frac{2}{3}, x \in R$ ，判断 $f (x)$ 与 $1$ 的大小关系并证明.

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红球个数	3	2	1	0
实际付款	半价	7折	8折	原价