云南省曲靖市罗平县2020年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2020-06-23 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 下列各数是有理数的是(　　)

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、π

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2. 如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为（　　）

A、8×10^﹣⁸ B、8×10^﹣⁷ C、80×10^﹣⁹ D、0.8×10^﹣⁷

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4. 下列运算正确的是（）

A、（a+b）²=a²+b² B、（-2ab³）²=-4a²b⁶ C、3a²-2a³=a⁶ D、a³-a=a（a+1）（a-1）

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5. 式子 $\frac{\sqrt{a + 1}}{a - 2}$ 有意义，则实数a的取值范围是（）

A、a≥-1 B、a≠2 C、a≥-1且a≠2 D、a＞2

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6. 一个正多边形的内角和为1080°，则这个正多边形的每个外角为（）

A、30° B、45° C、60° D、80°

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7. 如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（）

A、4π﹣4 B、2π﹣4 C、4π D、2π

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8. 如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹。
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；

步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.

下列叙述正确的是（）

A、BH垂直平分线段AD B、AC平分∠BAD C、S△ABC=BC⋅AH D、AB=AD

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二、填空题

9. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是；今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.若气温为零上 $10^{\circ} C$ 记作 $+ 10^{\circ} C$ ，则 $- 3^{\circ} C$ 表示气温为.

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10. 因式分解： $4 a^{2} - 8 a + 4 =$ .

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11. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=°.

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12. 小明沿着坡度i为1∶ $\sqrt{3}$ 的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了m.

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13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k - 1) x + (k^{2} - 1) = 0$ 无实数根，则 $k$ 的取值范围为.

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14. 如图，过点 $A (2 ， 0)$ 作直线 $l ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 的垂线，垂足为点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} A_{2} ⊥ x$ 轴，垂足为点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} A_{3} ⊥ l$ ，垂足为点 $A_{3}$ …，这样依次下去，得到一组线段 $A A_{1} ， A_{1} A_{2} ， A_{2} A_{3}$ …，则线段 $A_{2016} A_{2017}$ 的长为.

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三、解答题

15. 计算：（-1）²-|-7|+ ×（2017-π）⁰+（）^-2

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16. 先化简，再求值： $\frac{a}{a^{2} + 4 a + 4} \div (1 - \frac{2 a - 4}{a^{2} - 4})$ ），其中 $a = \sqrt{3} - 2$ .

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17. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上， AD=EB ， $A C / / E F$ ， $∠ C = ∠ F$ .求证： $A C = E F$ .

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18. 某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．

(1)、求这种笔和本子的单价；

(2)、该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．

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19. 为了解本校九年级学生期末数学考试情况，在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为 $A$ （ $100 ~ 90$ 分）、 $B$ （ $8 9~ 80$ 分）、 $C$ （ $7 9~ 60$ 分）、 $D$ （ $59 ~ 0$ 分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：

(1)、这次随机抽取的学生共有多少人？

(2)、请补全条形统计图.

(3)、这个学校九年级共有学生 $1200$ 人，若分数为 $80$ 分（含 $80$ 分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生大约有多少？

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20. 甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字 $2$ ， $3$ ， $5$ ，将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上.

(1)、甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张.请用列表法或画树状图的方法写出所有可能的结果；

(2)、若两人抽取的数字和为 $2$ 的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为 $5$ 的倍数，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释.

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21.
宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y= ${\begin{matrix} 7.5 x (0 \leq x \leq 4) \\ 5 x + 10 (4 < x \leq 14) \end{matrix}$ ．

(1)、工人甲第几天生产的产品数量为70件？

(2)、设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？

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22. 如图， $Δ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A F$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，延长 $B C$ 到点 $D$ ，连接 $O A$ ， $A D$ ，使得 $∠ F A C = ∠ A O D$ ， $∠ D = ∠ B A F$

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $C E = 2$ ，求 $E F$ 的长.

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于 $M$ 点.

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、设点 $P$ 是直线 $l$ 上的一个动点，当 $P A + P C$ 的值最小时，求 $P A + P C$ 的长；

(3)、在直线 $l$ 上是否存在点 $Q$ ，使以 $M$ ， $O$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $Δ A O C$ 相似？若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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