河南省南阳市内乡县2020年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2020-06-23 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 有理数a，b在数轴上所对应的点的位置如图，下列说法正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $- b < - 1$ C、 $- a < b$ D、 $| - b | < | a |$

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2. 以下四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $m (m - 1) = m^{2} - m$ B、 ${(m^{4})}^{3} = m^{7}$ C、 $2 m^{5} \div m^{3} = m^{2}$ D、 $m^{4} + m^{3} = m^{7}$

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4. 下列命题是真命题的是（）

A、对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、相等的两个角是对顶角 C、两边和一角分别对应相等的两个三角形全等 D、圆内接四边形对角相等

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5. 计算 $\sqrt{2} \times (\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{6})$ 的值在（）.

A、0到 $- 1$ 之间 B、 $- 1$ 到 $- 2$ 之间 C、 $- 2$ 到 $- 3$ 之间 D、 $- 3$ 到 $- 4$ 之间

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6. 如图所示，电路图上有A，B，C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光．现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 如图，直线 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于A，B把 $Δ A O B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $Δ A C D$ ，则点 $D$ 的坐标是（）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(4 ， 5)$ C、 $(7 ， 4)$ D、 $(7 ， 3)$

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8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，连接CO，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E，若DE∥AC，∠BAC＝40°，则∠OCD的度数为（）

A、65° B、30° C、25° D、20°

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9. 如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $A$ 和点 $B$ ，分别交反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x > 0$ ）， $y_{2} = \frac{2 k}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象于点 $C$ 和点 $D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，连结 $O C$ ， $O D$ ，若 $Δ C O E$ 的面积与 $Δ D O B$ 的面积相等，则 $k$ 的值是（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 若整数 $a$ 使得关于 $x$ 的方程 $2 - \frac{3}{x - 2} = \frac{a}{2 - x}$ 的解为非负数，且使得关于 $y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 y - 2}{2} + 1 > \frac{y - 2}{2} \\ \frac{y - a}{3} \leq 0 \end{array}$ 至少有四个整数解，则所有符合条件的整数 $a$ 的和为（）.

A、17 B、18 C、22 D、25

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二、填空题

11. ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} + {(1 - \sqrt{3})}^{0} =$ .

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12. 新冠状病毒疫情发生以来，截止2月5日全国红十字会共接收社会捐赠款物约65.993亿，65.993亿用科学记数法表示为.

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13. 如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝1，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA'B′C'的位置，则点B'的坐标为.

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14. 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为.

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15. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ 是 $B C$ 边上一点，连接 $A E$ ，把 $∠ B$ 沿 $A E$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处.当 $Δ C B^{'} E$ 为直角三角形时，则 $A E$ 的长为.

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三、解答题

16. 先化简代数式 $(1 - \frac{3}{a + 2}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 4}$ ，再从 $- 2 \leq a \leq 2$ 中选一个恰当的整数作为 $a$ 的值代入求值.

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17. 2020年的春节对于我们来说有些不一样，我们每一个人都在面临一个眼睛看不到的敌人，它叫病毒，残酷的病毒会让人惠上肺炎，在这个不能出门的悠长假期里，某中学随机对本校部分学生进行“假期中，我在家可以这么做！ $A$ .扎实学习、 $B$ .快乐游戏、 $C$ .经典阅读、 $D$ .分担劳动、 $E$ .乐享健康”的网络调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（若每一位同学只能选择一项），请根据图中的信息回答下列问题.

(1)、这次调查的总人数是人；

(2)、请补全条形统计图，并说明扇形统计图中 $E$ 所对应的圆心角是度；

(3)、若学校共有学生的1700人，则选择 $C$ 有多少人？

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18. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径.如果圆上的点 $D$ 恰好使 $∠ A D C = ∠ B$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线.

(2)、过点 $A$ 作 $A M ⊥ C D$ 于点 $M$ .若 $A B = 5$ ， $\sin B = \frac{3}{5}$ ，则 $A M$ 的长为.

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19. 某学具制作小组在制作直角三角形和矩形学具时，运用数形结合思想探究两种学具的边长和面积或周长的数量关系.
已知，制作矩形学具一组邻边长为 $x$ 、 $y$ ，周长为6.由矩形的周长计算公式可得 $2 (x + y) = 6$ ，从而得到 $y$ 与 $x$ 的函数关系是 $y = - x + 3$ ；制作的直角三角形学具的两条直角边长分别为 $x$ 、 $y$ 面积为2，由三角形的面积计算公式可得 $\frac{1}{2} x y = 2$ ，从而得到 $y$ 与 $x$ 的函数关系是 $y = \frac{4}{x}$ ，其反比例函数图象如图所示.

(1)、在图中的直角坐标系中直接画出 $y = - x + 3$ 的图象；

(2)、把直线 $y = - x + 3$ 的图象向上平移 $a$ （ $a > 0$ ）个单位长度后与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象有且只有一个交点，求此时 $a$ 的值和公共点坐标.

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20. 如今，不少人购买家具时追求简约大气的风格，图（1）是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意选择，图（2）为其侧面示意图，其中 $O D$ 为镜面， $E F$ 为放置物品的收纳架， $A B$ 、 $A C$ 为等长的支架， $B C$ 为水平地面，且 $O A = 44 cm$ ， $O D = 120 cm$ ， $B D = 40 cm$ ， $∠ A B C = 75 °$ ，如图（3）将镜面顺时针旋转 $15 °$ ，求此时收纳镜顶部端点 $O$ 到地面 $B C$ 的距离.（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 75 ° \approx 0.97$ ， $\cos 75 ° \approx 0.26$ ， $\tan 75 ° \approx 3.73$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. 在近期“抗疫”期间，某药店销售A、B两种型号的口罩，已知销售800只A型和450只B型的利润为210元，销售400只A型和600只B型的利润为180元.

(1)、求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；

(2)、该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，设购进A型口罩x只，这2000只口罩的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式；

②该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？

(3)、在销售时，该药店开始时将B型口罩提价100%，当收回成本后，为了让利给消费者，决定把B型口罩的售价调整为进价的15%，求B型口罩降价的幅度.

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22. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1.将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）.

(1)、当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；

(2)、探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；

②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长.

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23. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其中点 $B$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点 $C$ 的坐标为（0，3），直线 $l$ 经过 $B$ ， $C$ 两点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过点 $C$ 作 $C D // x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，过线段 $C D$ 上方的抛物线上一动点 $E$ 作 $E F ⊥ C D$ 交线段 $B C$ 于点 $F$ ，求四边形 $E C F D$ 的面积的最大值及此时点 $E$ 的坐标；

(3)、点 $P$ 是在直线 $l$ 上方的抛物线上一动点，点 $M$ 是坐标平面内一动点，是否存在动点 $P$ 、 $M$ ，使得以 $C$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $M$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由.

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