浙江省舟山市2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x < 2}$ ， $B = {x | x + 1 > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x < - 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 2}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | x \geq - 2}$

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2. 若 $a \in R$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $| a | = 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 已知 $i$ 是虚数单位，若 $z = \frac{1 + i}{1 - 2 i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{3} - i$ B、 $- \frac{1}{3} + i$ C、 $\frac{- 1 - 3 i}{5}$ D、 $\frac{- 1 + 3 i}{5}$

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4. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₅+a₇+a₉＝21，则S₁₃＝（）

A、36 B、72 C、91 D、182

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f' (x)$ 的图像如图所示，则 $f (x)$ （）

A、有极小值，但无极大值 B、既有极小值，也有极大值 C、有极大值，但无极小值 D、既无极小值，也无极大值

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6. 若直线l不平行于平面 $α$ ，且 $l ⊄ α$ ，则（）

A、 $α$ 内所有直线与l异面 B、 $α$ 内只存在有限条直线与l共面 C、 $α$ 内存在唯一的直线与l平行 D、 $α$ 内存在无数条直线与l相交

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $cos A = sin B = \frac{1}{2}$ ，且 $b = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为 $α ， β ， γ$ ，则（）

A、 $α = β = γ$ B、 $α < β < γ$ C、 $α > β > γ$ D、前三个答案都不对

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9. 把圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 和椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的公共点用线段连接起来，所得到的图形为（）

A、线段 B、等边三角形 C、直角三角形 D、四边形

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ， $m, n$ 满足 $m < n$ 且 $f (m) = n - m$ ， $f (n) = m - n$ ，则当 $m < x < n$ 时，有（）

A、 $f (x) + x < n$ B、 $f (x) + x > m$ C、 $f (x) - x < 0$ D、 $f (x) - x > 0$

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二、双空题

11. 若 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $\sin α =$ ， $\tan 2 α =$ .

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12. 某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则正视图中 $α$ 的正切值为，该几何体的体积为.

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13. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $S_{2} = 5, a_{n + 1} = 3 S_{n} + 1, n \in N^{*}$ ，则 $a_{2} =$ ， $S_{4} =$ ．

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14. 在坐标平面上有两个区域 $M ， N$ ， $M$ 由 ${\begin{array}{l} y \geq 0 \\ x - y \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \end{array}$ 所确定， $N$ 由 $t \leq x \leq t + 1$ 所确定，其中实数 $t \in [0 ， 1]$ ，若点 $(x ， y)$ 在区域 $M$ 内，则 $z = x - 2 y$ 的最小值为； $M$ 和 $N$ 的公共面积的最大值为．

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三、填空题

15. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是该双曲线上一点，且 $| P F_{1} | : | P F_{2} | = 2 : 1$ ，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积等于．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x - a - | x + a |}{2019}$ ，其中 $a > 0$ ，若 $g (x) = f (x) - a x$ 只有一个零点，则 $a$ 的取值范围是．

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17. 已知 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 是两个非零向量，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | + | \vec{b} |$ 的最大值为．

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + b \sin x \cos x$ 满足 $f (\frac{π}{6}) = 2$ ，其中 $b \in R$ .

(1)、求b的值及 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{5 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的最值.

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19. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为2的正方形，高为 $\sqrt{2}$ ，M为线段 $P C$ 的中点，N为线段 $A P$ 的中点.

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $M D B$ ；

(2)、求直线 $C N$ 与平面 $M B D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{4} = 5 a_{2}^{2}$ ，且 $S_{1}, S_{3}, S_{2}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} - \dots + {(- 1)}^{n + 1} a_{n} b_{n} = 10 n - n^{2} (n \in N^{*})$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最大值.

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21. 已知圆 $D ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，点 $A$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点.

(1)、求点A横坐标的取值范围；

(2)、如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线 $l$ 交抛物线C于 $P ， Q$ 两点，过点P作x轴的垂线分别与直线 $O A ， O Q$ 交于 $M ， N$ ，求证：M为 $P N$ 中点.

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) (e^{x} + a)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 与 $f' (x)$ 的单调区间相同，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；

(3)、若 $f (0) = 0$ ，求证： $f (x) \geq (e - 1) \ln x + 2 e x - 2$ 在 $x \in [1 ， + \infty)$ 上恒成立.

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