浙江省绍兴市上虞区2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {0, 2, a}$ ， $B = {1, a^{2}}$ ，若 $A \cup B = {0, 1, 2, 4, 16}$ ，则a的值为（）．

A、0 B、1 C、2 D、4

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的焦点到渐近线的距离为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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3. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 0 \\ x + y \leq 3 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 若实数 $a ， b$ 满足 $\log_{a} 2 < \log_{b} 2$ ，则下列关系中不可能成立的是（）

A、 $0 < b < a < 1$ B、 $0 < a < 1 < b$ C、 $a > b > 1$ D、 $0 < b < 1 < a$

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5. 在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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6. 函数 $y = a x^{2} + a$ 与 $y = \frac{a}{x} (a \neq 0)$ 在同一坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 12$ 的圆心为C，点P是直线 $l ： m x - y - 5 m + 4 = 0$ 上的点，若圆C上存在点Q使 $∠ C P Q = 60^{°}$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $[1 - \frac{\sqrt{30}}{6} ， 1 + \frac{\sqrt{30}}{6}]$ B、 $(- \infty ， 1 - \frac{\sqrt{30}}{6}] \cup^{} [1 + \frac{\sqrt{30}}{6} ， + \infty)$ C、 $[0 ， \frac{12}{5}]$ D、 $(- \infty ， 0] \cup^{} [\frac{12}{5} ， + \infty)$

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8. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1} ， F_{2}$ ，点P是两曲线的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{°}$ ，若椭圆离心率 $e_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的离心率 $e_{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、3 D、4

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $A C = B C$ ，现将 $Δ A B C$ 绕BC所在直线旋转至 $Δ P B C$ ，设二面角 $P - B C - A$ 的大小为 $θ$ ， $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $α$ ，PC与平面PAB所成角为 $β$ ，若 $0 < θ < π$ ，则（）

A、 $α > θ$ B、 $β < θ$ C、 $0 < α \leq \frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{4} < β < \frac{π}{2}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} = 1 + a_{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项之和，则 $S_{19} =$ （）

A、 $- \frac{323}{2}$ B、 $- \frac{324}{2}$ C、 $\frac{323}{2}$ D、 $\frac{361}{2}$

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二、双空题

11. $\sin \frac{17 π}{6} =$ ， $2^{2 \log_{2} 3} =$ ．

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12. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．

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13. 已知 $a, b \in R$ ，复数 $z = a - i$ 且 $\frac{z}{1 + i} = 1 + b i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $a b =$ ， $| z | =$ ．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，D在边 $A B$ 上， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $A C = 2$ ， $B C = 1$ ，且 $C D = \frac{2}{3} \sqrt{3}$ ，则 $A B =$ ， $Δ A B C$ 的面积为．

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三、填空题

15. 已知正数 $x ， y$ 满足 $x + 2 y = 3$ ，则 $\frac{2 y}{x} + \frac{1}{2 y}$ 的最小值．

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16. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{c} - (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) | \leq | \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ ，则 $| \overset{⇀}{c} |$ 的最大值为．

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{4} - 3 x^{2} - a x, x > 0, \\ x^{4} - 3 x^{2} + a x, x < 0, \end{array}$ 有四个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} + \sqrt{3} \cos^{2} \frac{x}{3}$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最大值，并求 $f (x)$ 取最大值时 $x$ 的取值集合；

（Ⅱ）若 $f (\frac{3}{2} α) = \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{4}$ 且 $α \in (0, π)$ ，求 $\cos α$ ．

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19. 如图，四核锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B C D = 90^{°}$ ， $Δ P A D$ 是以 $A D$ 为底的等腰直角三角形， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，且 $P E = \sqrt{11}$ ．

（Ⅰ）求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

（Ⅱ）求直线 $P E$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，其前n项和 $S_{n}$ 满足： $S_{n} = 2 a_{n} + n - 3$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} (a_{n} - 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明：对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $T_{n} < \frac{5}{6}$ ．

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21. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点为 $F (0 ， 1)$ ．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）P是抛物线C上一点，过点P的直线交C于另一点Q，满足 $P Q$ 与C在点P处的切线垂直，求 $Δ P F Q$ 面积的最小值，并求此时点P的坐标。

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} (x - a)$ ， $x \in R$ ， $- 2 \leq a \leq 2$ ．
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，函数 $g (x) = {\begin{matrix} f^{'} (x) ， f (x) \geq f^{'} (x) \\ f (x) ， f (x) < f^{'} (x) \end{matrix}$ ，求 $g (x)$ 在 $x \in [- 2 ， 2]$ 时的最小值．

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