浙江省丽水市2018-2019学年高二下学期数学期末教学质量监控试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $y = x - 1$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 的位置关系是（）

A、相交 B、内切 C、外切 D、相离

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3. “ $0 < k < 1$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{k} = 1$ 表示双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )

A、球 B、三棱锥 C、正方体 D、圆柱

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5. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $A B = B C = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 和 $A D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 若动圆 $C$ 的圆心在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，且与直线 $l : x = - 1$ 相切，则动圆C必过一个定点，该定点坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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7. 某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（）

A、24 B、36 C、42 D、48

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8. 设 $m ， n$ 为两条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $m / / n$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$

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9. 已知 $n \in N^{*}$ ，用数学归纳法证明 $f (n) = 1 + 4 + 7 + \dots + (3 n - 2) = \frac{3 n^{2} - n}{2}$ 时．假设当 $n = k$ $(k \in N *)$ 时命题成立，证明当 $n = k + 1$ 时命题也成立，需要用到的 $f (k + 1)$ 与 $f (k)$ 之间的关系式是（）

A、 $f (k + 1) = f (k) + 3 k - 5$ B、 $f (k + 1) = f (k) + 3 k - 2$ C、 $f (k + 1) = f (k) + 3 k + 1$ D、 $f (k + 1) = f (k) + 3 k + 4$

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10. 如图，可导函数 $y = f (x)$ 在点 $P (x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，设 $h (x) = g (x) - f (x)$ ， $h' (x)$ 为 $h (x)$ 的导函数，则下列结论中正确的是（）

A、 $h' (x_{0}) = 0$ ， $x_{0}$ 是 $h (x)$ 的极大值点 B、 $h' (x_{0}) = 0$ ， $x_{0}$ 是 $h (x)$ 的极小值点 C、 $h' (x_{0}) \neq 0$ ， $x_{0}$ 不是 $h (x)$ 的极值点 D、 $h' (x_{0}) \neq 0$ ， $x_{0}$ 是 $h (x)$ 是的极值点

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11. 已知M，N是离心率为 $2$ 的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0 ， b > 0 ）$ 上关于原点对称的两点， $P$ 是双曲线上的动点，且直线 $P M ， P N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{1} k_{2} \neq 0$ ，则 $k_{1} + 3 k_{2}$ 的取值范围为（）

A、 $[6 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 6] \cup [6 ， + \infty)$ C、 $[2 \sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{3}] \cup [2 \sqrt{3} ， + \infty)$ )

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，M在线段 $A B$ 上，且 $AM=AD=1， AB=3$ ，将 $Δ A D M$ 沿 $D M$ 翻折．在翻折过程中，记二面角 $A - B C - D$ 的平面角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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二、双空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ $= (- 2, 0, 1)$ ， $\overset{⇀}{b}$ $= (1, 2, x)$ ，若 $\overset{⇀}{a}$ $⊥$ $\overset{⇀}{b}$ ，则 $x =$ ,若 $2 \overset{⇀}{a}$ $+$ $\overset{⇀}{b}$ $= (- 3, 2, 5)$ ,则 $x =$ ．

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14. 已知复数 $z = 2 +$ $i$ ( $i$ 是虚数单位)，则 $| z | =$ ， $i$ $\cdot z =$ ．

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15. 若 ${(1 + 2 x)}^{2019} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2019} x^{2019}$ ，则 $a_{0} =$ $- \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} - \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots +$ ${(- 1)}^{n} \frac{a_{n}}{2^{n}} + \dots - \frac{a_{2019}}{2^{2019}} =$ ．

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三、填空题

16. 若一个三位自然数的十位上的数字最大，则称该数为“凸数”（如 $231$ ， $132$ ）.由 $1, 2, 3, 4$ 组成没有重复数字的三位数，其中凸数的个数为个．

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17. 已知奇函数 $y = f (x) (x \in R$ 且 $x \neq 0)$ ， $f' (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，当 $x > 0$ 时， $x f' (x) - f (x) > 0$ ，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为．

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18. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，F是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点（包括边界），且 $A_{1} F / / 平面 D_{1} A E$ ，则 $\overset{⇀}{F A_{1}} \cdot \overset{⇀}{F B_{1}}$ 的最小值为．

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19. 已知 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点，点M，N分别在直线 $l_{1} : y = \frac{1}{3} x$ 与 $l_{2} : y = - \frac{1}{3} x$ 上，且 $P M / / l_{2}$ ， $P N / / l_{1}$ ，若 $P M^{2} + P N^{2}$ 为定值，则椭圆的离心率为.

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四、解答题

20. 已知圆 $C ：$ $x^{2} + y^{2} - 2 m x - 3 = 0$ $(m \in R)$ ．
（Ⅰ）若 $m = 1$ ，求圆 $C$ 的圆心坐标及半径；

（Ⅱ）若直线 $l : x - y = 0$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，且 $| A B | = 4$ ，求实数m的值．

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21. 如图，三棱柱 $A B C-A {}_{1}B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C$ $⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ， $A B = B C = A C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A B B_{1} = \frac{2 π}{3}$ ．

（Ⅰ）证明： $A B ⊥ A_{1} C$ ；

（Ⅱ）求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 ${B B}_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值．

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22. 如图，已知三点A，P，Q在抛物线 $C ： x^{2} = 8 y$ 上，点 $A$ ，Q关于y轴对称（点A在第一象限），直线 $P Q$ 过抛物线的焦点F.

（Ⅰ）若 $Δ A P Q$ 的重心为 $G (\frac{8}{3} ， 3)$ ，求直线 $A P$ 的方程；

（Ⅱ）设 $Δ O A P$ ， $Δ O F Q$ 的面积分别为 $S_{1}^{2} ， S_{2}^{2}$ ，求 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2}$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{2}{x} - a （ a \in R ）$ ．
（Ⅰ）当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 在 $(e ， e^{3})$ 上的零点个数；

（Ⅱ）当 $a < 3$ 时，若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： ${4<x}_{1} {+x}_{2} <3e-2$

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