浙江省金华十校2018-2019学年高二下学期数学期末调研考试试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = ｛ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ｝$ ， $B = {x | | x | \leq 1}$ ，则 $A \cap B ＝$ （）

A、 $｛ - 1 ， 0 ， 1 ｝$ B、 $｛ 0 ， 1 ｝$ C、 $｛ 0 ｝$ D、 $｛ 1 ｝$

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2. 函数 $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} x$ 是（）

A、偶函数且最小正周期为2 $π$ B、奇函数且最小正周期为2 $π$ C、偶函数且最小正周期为 $π$ D、奇函数且最小正周期为 $π$

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3. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 有相同的（）

A、顶点 B、焦点 C、渐近线 D、离心率

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4. “ $－ 1 \leq x \leq 1$ ”是“ $| x ＋ 1 | + | x － 1 | \geq 2$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知经过 $A (1 ， \sqrt{3})$ ， $B （ 4 ， 0 ）$ 两点的直线AB与直线l垂直，则直线l的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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6. 设 $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，l，m是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）

A、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$ B、若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ α$ ，则 $l ∥ m$ C、若 $l ⊥ α$ ， $l ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $l ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ∥ β$

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7. 函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 向右平移 $φ (0 \leq φ \leq π)$ 个单位后得到函数 $g (x)$ ，若 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{6})$ 上单调递增，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{π}{4}]$ B、 $[0, \frac{2 π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{4}]$

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8. 已知 $a = \log_{8} 6$ ， $b = \log_{4} 3$ ， $c = \frac{3}{4}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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9. 如图，在菱形ABCD中， $∠ B A D ＝ 60 °$ ，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将 $△ A B D$ 绕对角线BD旋转，令二面角A－BD－C的平面角为 $α$ ，则在旋转过程中有（）

A、 $∠ E F K \leq α$ B、 $∠ E F K \geq α$ C、 $∠ E D K \leq α$ D、 $∠ E D K \geq α$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - a x^{2}$ ，若 $α$ ， $β$ 均在［1，4］内，且 $β - α = 1$ ， $f (α) = f (β)$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{\ln 2}{4}]$ B、 $[\frac{2}{7} \ln \frac{4}{3} ， \frac{\ln 2}{4}]$ C、 $[\frac{\ln 2}{4} ， \frac{2}{3} \ln 2]$ D、 $[\frac{2}{7} \ln \frac{4}{3} ， \frac{2}{3} \ln 2]$

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二、双空题

11. 已知 $m \in R$ ，若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + m = 0$ 表示圆，则圆心坐标为； $m$ 的取值范围是．

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12. 已知角 $α$ 的终边在直线 $y = x$ 上，则 $\tan α =$ ； $\sin^{2} α + \sin α \cos α =$ ．

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13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2^{n} - a$ ，则
⑴a=；

⑵比较大小： $\frac{1}{a_{2018}} + \frac{1}{a_{2020}}$ $\frac{2}{a_{2019}}$ （填 $>$ ， $<$ 或 $=$ ）．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (\cos α, \sin α)$ ， $\vec{b} = (1, m)$ ．若 $α = \frac{π}{3}$ 时， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ ；若对任意 $α \in R$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则m= ．

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三、填空题

15. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 如图，网格纸上小正方形的边长为1cm，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．

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17. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = {\vec{a}}^{2} = 1$ ， $| \vec{b} - \vec{c} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的最大值是．

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四、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\cos B = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $\sin A \cdot \sin C$ 的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $△ E A D$ 是以 $A D$ 为斜边的直角三角形， $A E = 2$ ， $∠ D A E = 60 °$ ， $B C ∥ A D$ ， $A B = B C = C D = \frac{1}{2} A D$ ．

(1)、若线段 $A D$ 上有一个点P，使得 $C D ∥$ 平面 $P B E$ ，请确定点P的位置，并说明理由；

(2)、若平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D E$ ，求直线 $C D$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为q，若 $d = q = 2$ ，且 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $a_{2}$ ， $b_{2}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = a_{b_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意正整数 $n$ ， $S_{n} \geq 99 (2 n + 1) T_{n} + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线 $C_{2} ： x^{2} = 2 p y$ 与椭圆 $C_{1}$ 在第一线象限的交点为 $A (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的方程；

(2)、在抛物线 $C_{2}$ 上任取一点P，在点P处作抛物线 $C_{2}$ 的切线l，若椭圆 $C_{1}$ 上存在两点关于直线l对称，求点P的纵坐标的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + | 3 x - 3 - \ln x |$ ．

(1)、求函数 $g (x) = 3 x - 3 - \ln x$ 的最小值；

(2)、当 $x \in (0 ， \frac{3}{2})$ 时，记函数 $f (x)$ 的所有单调递增区间的长度为 $L_{1}$ ，所有单调递减区间的长度为 $L_{2}$ ，证明： $L_{1} > L_{2}$ ．（注：区间长度指该区间在 $x$ 轴上所占位置的长度，与区间的开闭无关．）

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