浙江省湖州市2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in R | 0 < x < 2}$ ， $B = {x \in R | | x | < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{1 + 2 i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）.

A、1 B、2 C、3 D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知曲线 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + 2$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处切线的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则a等于（）

A、2 B、-2 C、3 D、-1

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4. 若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）.

A、 $C_{5}^{1} C_{85}^{2}$ B、 $C_{5}^{1} C_{89}^{2}$ C、 $C_{90}^{3} - C_{85}^{3}$ D、 $C_{90}^{3} - C_{85}^{2}$

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5. 若定义在 $[a ， b]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）.

A、函数 $f (x)$ 有1个极大值，2个极小值 B、函数 $f (x)$ 有2个极大值，3个极小值 C、函数 $f (x)$ 有3个极大值，2个极小值 D、函数 $f (x)$ 有4个极大值，3个极小值

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6. 把函数 $y = \sin x (x \in R)$ 的图象上所有点向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）.

A、 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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7. 用数学归纳法证明 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{3 n} \geq \frac{5}{6} 时$ ，从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ ，不等式左边需添加的项是（）

A、 $\frac{1}{3 k + 1} + \frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 3}$ B、 $C_{2}^{1} \cdot C_{3}^{1} = 6$ C、 $C_{4}^{1} \cdot C_{3}^{1} = 12$ D、 $\frac{1}{3 k + 3}$

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8. 有 $3$ 位男生， $3$ 位女生和 $1$ 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）

A、 $144$ B、 $216$ C、 $288$ D、 $432$

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9. $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，M是 $B C$ 的中点，若 $\sin ∠ B A M = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin ∠ B A C =$ （）.

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10. 若存在实数 $a$ ， $b$ ，使不等式 $4 e \ln x \leq a x + b \leq 2 x^{2} + 2$ 对一切正数x都成立（其中e为自然对数的底数），则实数a的最小值是（）.

A、 $2 e$ B、4 C、e D、2

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二、双空题

11. 已知多项式 ${(1 - 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{0} =$ ， $a_{3} =$ .

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12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $b = \sqrt{6}$ ，△ABC的面积为 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ ，则c= ， B=.

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13. 设函数 $f (x) = x^{3} - x^{2}$ .已知 $a \neq 0$ ，且 $f (x) - f (a) = (x - b) {(x - a)}^{2} (x \in R)$ ，则实数 $a =$ ， $b =$ .

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三、填空题

14. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，公差 $d$ 不为零．若 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列，且 $2 a_{1} + a_{2} = 1$ ，则 $a_{1} =$ ， $d =$ ．

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15. 已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为．

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16. 已知两不共线的非零向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = 1$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 夹角的最大值是.

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17. 若函数 $f (x) = x (\ln x - 1) - a x - b (a ， b \in R)$ 在 $[1 ， e]$ 存在零点（其中e为自然对数的底数），则 $a^{2} + 2 b$ 的最小值是.

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} - x$ 在 $x = 1$ 处取到极值.

(1)、求实数a的值，并求出函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值与最小值及相应的 $x$ 的值.

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19. 一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为 $\frac{10}{11}$ .

(1)、求m，n的值；

(2)、若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率.

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20. 如图，在矩形ABC中， $A B = 3$ ， $A D = 6$ ，E在线段AD上， $D E = 2$ ，现沿BE将ABE折起，使A至位置 $A^{'}$ ，F在线段 $A^{'} C$ 上，且 $C F = 2 F A^{'}$ .

(1)、求证： $D F //$ 平面 $A^{'} B E$ ；

(2)、若 $A^{'}$ 在平面BCDE上的射影O在直线BC上，求直线 $A^{'} C$ 与平面 $A^{'} B E$ 所成角的正弦值.

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21. 已知 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 为抛物线 $y^{2} = 16 x$ 上的相异两点，且 $x_{1} + x_{2} = 8$ .

(1)、若直线 $A B$ 过 $M (2 ， 0)$ ，求 $A B$ 的值；

(2)、若直线 $A B$ 的垂直平分线交x轴与点P，求 $△ P A B$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + 2 x^{2} - m x (m \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在其定义域内单调递增，求实数m的最大值；

(2)、若存在正实数对 $(a ， b)$ ，使得当 $f (a) - f (b) = 1$ 时， $a - b = 1$ 能成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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