上海市理工大附中2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $| z + i | + | z - i | = 2$ ，则复数 $z$ 在复平面上所对应的图形是（）

A、椭圆 B、双曲线 C、直线 D、线段

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2. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（）

A、充分非必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 设A、B是非空集合，定义： $A \times B = {x | x \in A \cup B$ 且 $x \notin A \cap B}$ .已知 $A = {x | y = \sqrt{2 x - x^{2}}}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \times B$ 等于（）

A、 $[0, 1] \cup (2, + \infty)$ B、 $[0, 1) \cup (2, + \infty)$ C、 $[0, 1]$ D、 $[0, 2]$

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4. 给出下列三个命题：
命题1：存在奇函数 $f (x)$ $(x \in D_{1})$ 和偶函数 $g (x)$ $(x \in D_{2})$ ，使得函数 $f (x) g (x)$ $(x \in D_{1} \cap D_{2})$ 是偶函数；

命题2：存在函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 及区间 $D$ ，使得 $f (x)$ 、 $g (x)$ 在 $D$ 上均是增函数，但 $f (x) g (x)$ 在 $D$ 上是减函数；

命题3：存在函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ （定义域均为 $D$ ），使得 $f (x)$ 、 $g (x)$ 在 $x = x_{0}$ $(x_{0} \in D)$ 处均取到最大值，但 $f (x) g (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取到最小值.

那么真命题的个数是（）．

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

5. 集合 ${- 1, 0, 1}$ 的所有子集个数为．

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6. 复数 $i (1 + i)$ （ $i$ 是虚数单位）的虚部为．

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7. 已知集合 $A = {x | x \leq 3}$ ， $B = {x | x < 2}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ ．

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8. 已知复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，则 $| z - 2 |$ 的取值范围是．

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9. 不等式 $\frac{4}{x} > | x |$ 的解集为．

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 3 a x + a - 2 < 0$ 的解集为R，则实数a的取值范围．

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11. 若复数 $z$ 满足 $z^{2} - z + 1 = 0$ ，则 $| z | =$ ．

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12. 设 $f (x)$ 是定义在R上的周期为2的函数，当 $x \in [- 1, 1)$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} - 4 x^{2} + 2, - 1 \leq x < 0, \\ x, 0 \leq x < 1, \end{array}$ 则 $f (\frac{3}{2})$ = ．

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13. 已知偶函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 单调递减， $f (2) = 0$ .若 $f (x - 1) > 0$ ，则 $x$ 的取值范围是.

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14. 已知互异复数 $z_{1} z_{2} \neq 0$ ，集合 ${z_{1}, z_{2}} = {z_{1}^{2}, z_{2}^{2}}$ ，则 $z_{1} + z_{2} =$ ．

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，当 ${(a + 4 b)}^{2} + \frac{1}{a b}$ 取得最小值时， $b =$ ．

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16. 已知 $z = a + b i$ ( $a ， b \in R ， i$ 是虚数单位), $z_{1} ， z_{2} \in C ，$ 定义: $D (z) = | | z | | = | a | + | b | ， D (z_{1} ， z_{2}) = | | z_{1} - z_{2} | | ，$ 给出下列命题:
⑴对任意 $z \in C ，$ 都有 $D (z) > 0 ；$

⑵若 $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数,则 $D (\bar{z}) = D (z)$ 恒成立；

⑶若 $D (z_{1}) = D (z_{2}) (z_{1} ， z_{2} \in C) ，$ 则 $z_{1} = z_{2} ；$

⑷对任意 $z_{1} ， z_{2} ， z_{3} \in C ，$ 结论 $D (z_{1} ， z_{3}) \leq D (z_{1} ， z_{2}) + D (z_{2} ， z_{3})$ 恒成立.

则其中所有的真命题的序号是.

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三、解答题

17. 设复数 $z_{1} = 2 + a i$ （其中 $a \in R$ ）， $z_{2} = 3 - 4 i$ ．
（Ⅰ）若 $z_{1} + z_{2}$ 是实数，求 $z_{1} \cdot z_{2}$ 的值；

（Ⅱ）若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是纯虚数，求 $| z_{1} |$ ．

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - (2 a + 1) x + (a - 1) (a + 2) \leq 0}$ ， $B = {x | \frac{5}{x - 2} \geq 1, x \in R}$ ，若 $A \cup B = B$ ，求实数a的取值范围.

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19. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4 a + 4 = 0$ （ $a \in R$ ）的两根为 $α 、 β$ ，且 $| α | + | β | = 3$ ，求实数a的值.

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20. 学校某社团参加某项比赛，需用木料制作如图所示框架，框架下部是边长分别为 $x ， y$ 的矩形，上部是一个半圆，要求框架围成总面积为8.

(1)、试写出用料（即周长 $C$ ）关于宽x的函数解析式，并求出x的取值范围；

(2)、求用料（即周长C）的最小值，并求出相应的x的值.

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21. 对于定义域为 $D$ 的函数 $y = f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq D$ ，其中 $m < n$ ，同时满足：
① $f (x)$ 在 $[m, n]$ 内是单调函数：②当定义域为 $[m, n]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[m, n]$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[m, n]$ 上的“保值函数”，区间 $[m, n]$ 称为“保值函数”.

(1)、求证：函数 $g (x) = x^{2} - 2 x$ 不是定义域 $[0, 1]$ 上的“保值函数”；

(2)、若函数 $f (x) = 2 + \frac{1}{a} - \frac{1}{a^{2} x}$ （ $a \in R, a \neq 0$ ）是区间 $[m, n]$ 上的“保值函数”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、对（2）中函数 $f (x)$ ，若不等式 $| a^{2} f (x) | \leq 2 x$ 对 $x \geq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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