上海市青浦区2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 的一个方向向量是（）．

A、 $(1, - 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(2, 1)$

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2. 已知空间不重合的三条直线l、m、n及一个平面 $α$ ，下列命题中的假命题是（）．

A、若 $l ∥ m$ ， $m ∥ n$ ，则 $l ∥ n$ B、若 $l ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $l ∥ n$ C、若 $l ⊥ m$ ， $m ∥ n$ ，则 $l ⊥ n$ D、若 $l ⊥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $l ⊥ n$

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3. 已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为 $N$ .若 ${\overset{⇀}{M N}}^{2} = λ \overset{⇀}{A N} • \overset{⇀}{N B}$ ,其中 $λ$ 为常数,则动点M的轨迹不可能是（）

A、圆 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线

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4. 若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）．

A、至多等于4 B、至多等于5 C、至多等于6 D、至多等于8

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二、填空题

5. -2的平方根是．

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6. 直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角为.

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7. 在 ${(x + 1)}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为．

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8. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为

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9. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 1 - 3 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ ．

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10. 若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为．

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11. 已知顶点在原点的抛物线 $C$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的右焦点重合，则抛物线 $C$ 的方程为．

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则 $E$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离．

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13. 球的半径为 $12 c m$ ，球的一个截面与球心的距离为 $4 c m$ ，则截面的半径为 $c m$ ．

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14. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有种

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15. 若复数z满足 $| z | = 2$ ，则 $| z + 3 | + | z - 3 |$ 的取值范围是．

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16. 已知集合 $M = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 1}$ ，若实数 $λ, μ$ 满足：对任意的 $(x, y) \in M$ ，均有 $(λ x, μ y) \in M$ ，则称 $(λ, μ)$ 是集合 $M$ 的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是．
① ${(λ, μ) | λ + μ = 1}$ ； ② ${(λ, μ) | \frac{λ^{2}}{4} + \frac{μ^{2}}{3} = 1}$ ；

③ ${(λ, μ) | λ^{2} - μ^{2} = 2}$ ； ④ ${(λ, μ) | λ^{2} = 4 μ}$ ．

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三、解答题

17. 已知复数z满足z= $\frac{- 2 + 6 i}{1 - i}$ ﹣4．

(1)、求复数z的共轭复数 $\bar{z}$ ；

(2)、若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．

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18. 如图，已知 $A B$ 是圆锥 $S O$ 的底面直径，O是底面圆心， $S O = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 4$ ， $P$ 是母线 $S A$ 的中点，C是底面圆周上一点， $∠ A O C = 60 °$ ．

(1)、求直线 $P C$ 与底面所成的角的大小；

(2)、求异面直线 $P C$ 与 $S B$ 所成的角．

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19. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，O是坐标原点，过 $F_{2}$ 作垂直于x轴的直线 $M F_{2}$ 交椭圆于 $M (\sqrt{2}, 1)$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若过点 $(- \sqrt{2}, 0)$ 的直线l与椭圆C交于A、B两点，若 $\overset{⇀}{A O} \cdot \overset{⇀}{O B} = 0$ ，求直线l的方程．

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20. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马．如图所示，在阳马 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(1)、若 $A D = C D = 4 m$ ，斜梁 $P B$ 与底面 $A B C D$ 所成角为 $15 °$ ，求立柱 $P D$ 的长（精确到 $0.01 m$ ）；

(2)、证明：四面体 $P D B C$ 为鳖臑；

(3)、若 $P D = 2$ ， $C D = 2$ ， $B C = 1$ ， $E$ 为线段 $P B$ 上一个动点，求 $△ E C D$ 面积的最小值．

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21. 设不等式 $(x + y) (x - y) < 0$ 表示的平面区别为D．区域D内的动点P到直线 $x + y = 0$ 和直线 $x - y = 0$ 的距离之积为2．记点P的轨迹为曲线C．过点 $F (2 \sqrt{2}, 0)$ 的直线l与曲线C交于A、B两点．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若 $l$ 垂直于 $x$ 轴， $Q$ 为曲线 $C$ 上一点，求 $\overset{⇀}{Q A} \cdot \overset{⇀}{Q B}$ 的取值范围；

(3)、若以线段 $A B$ 为直径的圆与y轴相切，求直线l的斜率．

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