上海市金山区2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 现有60个机器零件，编号从1到60，若从中抽取6个进行检验，用系统抽样的方法确定所抽的编号可以是（）

A、3，13，23，33，43，53 B、2，14，26，38，40，52 C、5，8，31，36，48，54 D、5，10，15，20，25，30

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2. 设 $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，有下列命题：
①如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，那么 $α ⊥ β$ ； ②如果 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，那么 $m ⊥ n$ ；③如果 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，那么 $m / / β$ ；④如果平面 $α$ 内有不共线的三点到平面 $β$ 的距离相等，那么 $α / / β$ ；其中正确的命题是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、②③④

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3. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 $A_{1} B$ 异面且夹角成 $60 °$ 的直线的条数为（）．

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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4. 运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 绕 $y$ 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $16 π$ D、 $32 π$

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二、填空题

5. 函数 $y = x^{\frac{1}{2}}$ 的定义域是

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6. 若 $C_{n}^{4} = C_{n}^{6}$ ，则 $n =$

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7. 在 ${(x + \frac{1}{2})}^{10}$ 的二项展开式中， $x^{2}$ 项的系数为（结果用数值表示）

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8. 已知地球半径为R，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是

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9. 若函数 $y = f (x)$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，且 $f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$ ，则 $f (1)$ 的值为

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10. 底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是

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11. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．

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12. 若 ${(2 x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + a_{4} {(x + 1)}^{4} + a_{5} {(x + 1)}^{5}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ 的值是

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13. 设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是

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14. 在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长和侧棱长都为2，若 $\overset{⇀}{A A_{1}} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{b}$ $\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{c}$ ，且 $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 60 °$ ，则 $\overset{⇀}{A B_{1}} \cdot \overset{⇀}{B C_{1}}$ 的值为

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15. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点，点P在侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 内，若 $D_{1} P$ 垂直于 $C M$ ，则 $Δ P B C$ 的面积的最小值为.

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16. 已知 $f (x) = | 2 x - m |$ （ $m$ 为常数），对任意 $x \in R$ ，均有 $f (x + 3) = f (- x)$ 恒成立，下列说法：
① $f (x)$ 的周期为6；

②若 $g (x) = f (x) + | 2 x - b |$ （ $b$ 为常数）的图像关于直线 $x = 1$ 对称，则 $b = 1$ ；

③若 $0 < 2 α < β + 2$ ，且 $f (α) = f (β + 3)$ ，则必有 $- \frac{2}{9} < α^{2} + β < 0$ ；

④已知定义在 $R$ 上的函数 $F (x)$ 对任意 $x$ 均有 $F (x) = F (- x)$ 成立，且当 $x \in [0, 3]$ 时， $F (x) = f (x)$ ；又函数 $h (x) = - x^{2} + c$ （ $c$ 为常数），若存在 $x_{1}, x_{2} \in [- 1, 3]$ 使得 $| F_{1} (x_{1}) - h (x_{2}) | < 1$ 成立，则实数 $c$ 的取值范围是 $(- 1, 13)$ ，

其中说法正确的是（填写所有正确结论的编号）

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三、解答题

17. 男生4人和女生3人排成一排拍照留念.

(1)、有多少种不同的排法（结果用数值表示）？

(2)、要求两端都不排女生，有多少种不同的排法（结果用数值表示）？

(3)、求甲乙两人相邻的概率.（结果用最简分数表示）

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18. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A C = 90 °$ .

(1)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离.

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19. 已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足： $2 \leq t \leq 20$ ， $t \in N$ .经测算，电车载客量 $p (t)$ 与发车时间间隔 $t$ 满足： $p (t) = {\begin{matrix} 400 - 2 {(10 - t)}^{2} & 2 \leq t < 10 \\ 400 & 10 \leq t \leq 20 \end{matrix}$ ，其中 $t \in N$ .

(1)、求 $p (5)$ ，并说明 $p (5)$ 的实际意义；

(2)、若该线路每分钟的净收益为 $Q = \frac{6 p (t) - 1500}{t} - 60$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益.

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20. 如图， $A B$ 是圆柱的底面直径且 $A B = 2$ ， $P A$ 是圆柱的母线且 $P A = 2$ ，点C是圆柱底面面圆周上的点.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、当三棱锥 $P - A B C$ 体积最大时，求二面角 $C - P B - A$ 的大小；（结果用反三角函数值表示）

(3)、若 $A C = 1$ ， $D$ 是 $P B$ 的中点，点 $E$ 在线段 $P A$ 上，求 $C E + E D$ 的最小值.

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21. 若存在常数 $k$ （ $k > 0$ ），使得对定义域 $D$ 内的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ），都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq k | x_{1} - x_{2} |$ 成立，则称函数 $f (x)$ 在其定义域 $D$ 上是“ $k -$ 利普希兹条件函数”.

(1)、判断函数 $f (x) = \log_{2} x$ 是否是“ $2 -$ 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = \sqrt{x}$ （ $1 \leq x \leq 4$ ）是“ $k -$ 利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；

(3)、若 $y = f (x)$ （ $x \in R$ ）是周期为2的“ $1 -$ 利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 1$ .

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