上海市宝山区2018-2019学年高二下学期数学期末统考试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $Δ A B C$ 的边 $B C$ 上有一点D D满足 $\overset{⇀}{B D} = 4 \overset{⇀}{D C}$ ，则 $\overset{⇀}{A D}$ 可表示为（）

A、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{5} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{5} \overset{⇀}{A C}$

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2. 设 $l$ 表示直线， $m$ 是平面 $α$ 内的任意一条直线，则“ $l ⊥ m$ ”是“ $l ⊥ α$ ”成立的（）条件

A、充要 B、充分不必要 C、必要不充分 D、既不充分也不必要

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3. 已知单位向量 $\vec{O A}, \vec{O B}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，若 $\vec{O C} = 2 \vec{O A} + \vec{O B}$ ，则 $Δ A B C$ 为（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} = \sqrt{2}$ ， $a_{3} = \sqrt[3]{4}$ ，则 $\frac{a_{1} + a_{15}}{a_{7} + a_{21}} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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二、填空题

5. 已知 $i^{3} z = 1 - 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的共轭复数为

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6. 已知定点 $A (4, 0)$ 和曲线 $x^{2} + y^{2} = 8$ 上的动点 $B$ ，则线段 $A B$ 的中点 $P$ 的轨迹方程为

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7. 如果球的体积为 $\frac{9}{2} π$ ，那么该球的表面积为

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8. 已知点 $A (0, 2)$ ， $B (- 1, 3)$ ， $C (1, - 5)$ ，则△ $A B C$ 的面积是

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9. 已知 $2 i - 1$ 是方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ $(p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + q =$

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10. 已知抛物线 $x = 2 p y^{2}$ 上的点 $A (2, 2)$ ，则A到准线的距离为

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11. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{2} a_{5} = 2 a_{3}$ ，且 $a_{4}$ 与 $2 a_{7}$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$ ，则 $S_{5} =$

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12. 向量 $(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ 经过矩阵 $(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ 变换后的向量是

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13. 若双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ $(a > 0)$ 的一个焦点是 $(0, \sqrt{13})$ ，则该双曲线的渐近线方程是

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14. 已知直线 $l$ 经过点 $P (- 2, 1)$ ，且点 $A (- 1, - 2)$ 到 $l$ 的距离等于 $\sqrt{5}$ ，则直线 $l$ 的方程为

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15. 已知数列{2ⁿ^－1·a_n}的前n项和S_n＝9－6n，则数列{a_n}的通项公式是．

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16. 若向量 $\overset{⇀}{m} = (\sqrt{3}, - 1)$ ， $\overset{⇀}{p} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $\overset{⇀}{u} = \overset{⇀}{m} + (x^{2} - 3) \overset{⇀}{p}$ ， $\overset{⇀}{v} = - y \overset{⇀}{m} + x \overset{⇀}{p}$ ，且 $x^{3} - 3 x - 4 y = 0$ ，则 $\overset{⇀}{u}$ 与 $\overset{⇀}{v}$ 的夹角等于

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三、解答题

17. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D A = \sqrt{6}$ ， $D C = 2$ ， $D D_{1} = \sqrt{3}$ ，E是 $A B$ 的中点.

(1)、求四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 的体积；

(2)、求异面直线 $A_{1} E$ 与 $B_{1} C$ 所成角的大小（结果用反三角形函数值表示）.

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18. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $A B = 2$ ， $F$ 是 $B C$ 边上的点，且 $\overset{⇀}{B F} = 2 \overset{⇀}{F C}$ ，若 $A F$ 与 $B D$ 交于E点，建立如图所示的直角坐标系.

(1)、求F点的坐标；

(2)、求 $\overset{⇀}{A F} \cdot \overset{⇀}{E C}$ .

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19. 如图，在 $y$ 正半轴上的 $A$ 点有一只电子狗，B点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若 $A B = B O = 3$ .

(1)、求失败点组成的区域；

(2)、电子狗选择 $x$ 正半轴上的某一点 $P$ ，若电子狗在线段 $A P$ 上获胜，问点 $P$ 应在何处？

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，右顶点为A，上顶点为B，且 $b = c$ .

(1)、求直线 $A B$ 的方向方量；

(2)、若 $Q$ 是椭圆上的任意一点，求 $∠ F_{1} Q F_{2}$ 的最大值；

(3)、过 $F_{1}$ 作 $A B$ 的平行线交椭圆于C、D两点，若 $| C D | = 3$ ，求椭圆的方程.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，通项公式 $a_{n} = 3^{n - 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2 n - 6$ .

(1)、若 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 及 $\lim_{n \to \infty} T_{n}$ 的值；

(2)、若 $e_{n} = \frac{1}{(b_{n} + 5) (b_{n} + 7)}$ ，数列 ${e_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $E_{n}$ ，求 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ 、 $E_{3}$ 的值，根据计算结果猜测 $E_{n}$ 关于 $n$ 的表达式，并用数学归纳法加以证明；

(3)、对任意正整数 $n$ ，若 $(S_{n} + \frac{1}{2}) t > b_{n} + n$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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