吉林省吉林市三校2018-2019学年度高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $x + 2 y - 1 = 0$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(- 2, 2)$

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2. 已知复数 $z = m^{2} - 3 m + m i (m \in R)$ 为纯虚数，则 $m =$ （）

A、0 B、3 C、0或3 D、4

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3. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a} = (1, - 3), \overset{⇀}{b} = (- 2, 0)$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、5

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2, S_{6} - S_{4} = 6 a_{4}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、4 B、10 C、16 D、32

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5. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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6. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后关于y轴对称，则下列结论中不正确的是（）

A、 $φ = \frac{5 π}{6}$ B、 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、 $f (φ) = - 2$ D、 $x = - \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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7. 若向区域 $Ω = {(x, y) | 0 \leq x \leq 1 ， 0 \leq y \leq 1}$ 内投点，则该点落在由直线 $y = x$ 与曲线 $y = \sqrt{x}$ 围成区域内的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x < 0$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x - 3 y + 4 \geq 0 \\ 3 x - y - 4 \leq 0 \\ x + y \geq 0 \end{cases}$ ，则z=3x+2y的最大值是（）

A、-1 B、1 C、10 D、12

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10. 若x₁= $\frac{π}{4}$ ，x₂= $\frac{3 π}{4}$ 是函数f(x)= $\sin ω x$ ( $ω$ >0)两个相邻的极值点，则 $ω$ =（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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11. 平行于直线 $2 x + y + 1 = 0$ 且与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相切的直线的方程是（）

A、 $2 x + y + 5 = 0$ 或 $2 x + y - 5 = 0$ B、 $2 x + y + \sqrt{5} = 0$ 或 $2 x + y - \sqrt{5} = 0$ C、 $2 x - y + 5 = 0$ 或 $2 x - y - 5 = 0$ D、 $2 x - y + \sqrt{5} = 0$ 或 $2 x - y - \sqrt{5} = 0$

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12. 设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减，则（）

A、 $f (\log_{3} \frac{1}{4}) > f (2^{- \frac{3}{2}}) > f (2^{- \frac{2}{3}})$ B、 $f (\log_{3} \frac{1}{4}) > f (2^{- \frac{2}{3}}) > f (2^{- \frac{3}{2}})$ C、 $f (2^{- \frac{3}{2}}) > f (2^{- \frac{2}{3}}) > f (\log_{3} \frac{1}{4})$ D、 $f (2^{- \frac{2}{3}}) > f (2^{- \frac{3}{2}}) > f (\log_{3} \frac{1}{4})$

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二、填空题

13. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的系数为

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14. 设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若 $m ⊥ α, n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ ； ②若 $α / / β, β / / γ, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ γ$ ；③若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ ；④若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ ，其中正确命题的序号是.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，P是曲线 $y = x + \frac{4}{x} (x > 0)$ 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.

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16. 更相减损术是出自 $《$ 九章算术 $》$ 的一种算法 $.$ 如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入 $a = 91$ ， $b = 39$ ，则输出的值为．

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三、解答题

17. 设{a_n}是等差数列，a₁=–10，且a₂+10，a₃+8，a₄+6成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）记{a_n}的前n项和为S_n ，求S_n的最小值．

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18. 在△ $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，其面积 $S = b^{2} \sin A$ .

(1)、求 $\frac{c}{b}$ 的值；

(2)、设内角 $A$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于D， $A D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $b$ .

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19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} \geq k)$

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

(1)、根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)、求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表：

超过 $m$

不超过 $m$

第一种生产方式

第二种生产方式

(3)、根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

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20. 如图， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F ∥ A E ， A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B ， A B = A D = 1 ， A E = B C = 2$ .

（Ⅰ）求证： $B F ∥$ 平面 $A D E$ ；

（Ⅱ）求直线 $C E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $E - B D - F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $C F$ 的长.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + a x^{2} + b x$ .

(1)、若 $a = 1 ， b = - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x = 1 是 f (x)$ 的极小值点，求实数a的取值范围．

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22. 在极坐标系中,O为极点，点 $M (ρ_{0}, θ_{0}) (ρ_{0} > 0)$ 在曲线 $C : ρ = 4 \cos θ$ 上，直线 $l$ 过点 $A (0, 4)$ 且与 $O M$ 垂直，垂足为P

(1)、当 $θ_{0} = \frac{π}{4}$ 时，求 $ρ_{0}$ 及 $l$ 的极坐标方程

(2)、当 $M$ 在 $C$ 上运动且点P在线段 $O M$ 上时，求点P的轨迹的极坐标方程

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	超过 $m$	不超过 $m$
第一种生产方式
第二种生产方式

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828