吉林省吉林市2018-2019学年度高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x^{2} < 9}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. $i (2 + 3 i) =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 - 2 i$ D、 $- 3 + 2 i$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $2 - x \geq 0$ ”是“ $| x - 1 | \leq 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分而不必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设a=log₃7，b=2^1.1 ， c=0.8^3.1 ，则（　　）

A、b＜a＜c B、a＜c＜b C、c＜b＜a D、c＜a＜b

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5. 在 $Δ A B C$ 中， $c = 10 ， a = 5 \sqrt{2} ， A = 30 °$ 则 $B =$ （）

A、 $105 °$ B、 $60 °$ C、 $15 °$ D、 $105^{\circ}$ 或 $15^{\circ}$

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6. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y + 5 \leq 0 \\ \begin{matrix} x + 3 \geq 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} y \leq 2 & \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$ ，则z=x+2y的最大值是（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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7. 在平面直角坐标系 $x Ο y$ 中，已知四边形 $Α Β CD$ 是平行四边形， $\vec{Α Β} = (1, - 2)$ ， $\vec{Α D} = (2, 1)$ ，则 $\vec{Α D} \cdot \vec{Α C} =$ （）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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8. 要得到函数 $y = s i n （ 4 x -$ $\frac{π}{3}$ $）$ 的图象，只需要将函数 $y = s i n 4 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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9. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 是 $C$ 上的一点，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $∠ P F_{2} F_{1} = 60 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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10. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）

A、y=cosx B、y=sinx C、y=lnx D、y=x²+1

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11. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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12. 若函数 $f (x) = k x - \ln x$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为 $1$ .若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是．

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14. 垂直于直线 $y = x + 1$ 且与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切于第一象限的直线方程是．

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15. 设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若 $m ⊥ α ， n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ ； ②若 $α / / β ， β / / γ ， m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ γ$ ；③若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ ；④若 $α ⊥ γ ， β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ ，其中正确命题的序号是.

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16. 更相减损术是出自 $《$ 九章算术 $》$ 的一种算法 $.$ 如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入 $a = 91$ ， $b = 39$ ，则输出的值为．

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三、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = - 7$ ， $S_{3} = - 15$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．

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18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在 $[100 ， 150)$ ， $[150 ， 200)$ ， $[200 ， 250)$ ， $[250 ， 300)$ ， $[300 ， 350)$ ， $[350 ， 400)$ （单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.

(1)、经计算估计这组数据的中位数；

(2)、现按分层抽样从质量为 $[250 ， 300)$ ， $[300 ， 350)$ 的芒果中随机抽取 $6$ 个，再从这 $6$ 个中随机抽取 $3$ 个，求这 $3$ 个芒果中恰有 $1$ 个在 $[300 ， 350)$ 内的概率.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 2 A B = 4$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ．

(1)、证明： $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求三棱锥 $C_{1} - A B B_{1}$ 的体积．

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20. 已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，且垂直于抛物线的对称轴， $l$ 与抛物线两交点间的距离为 $2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程;

(2)、若点 $P (2, 2)$ ，过点 $(- 2, 4)$ 的直线与抛物线 $C$ 相交于 $A$ , $B$ 两点，设直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ .求证： $k_{1} k_{2}$ 为定值，并求出此定值.

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21. 已知函数f （x）＝x³＋（1－a）x²－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

（Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

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22. 在极坐标系中，已知圆的圆心 $C (5 ， \frac{π}{4})$ ，半径 $r = 3 ， Q$ 点在圆C上运动.

(1)、求圆C的极坐标方程；

(2)、若P点线段 $O Q$ 上，且 $| O P | ： | P Q | = 2 ： 3$ ，求动点P的轨迹方程.

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