吉林省白山市2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. ${(2 x - 3 y)}^{9}$ 的展开式中各项的二项式系数之和为（）

A、-1 B、512 C、-512 D、1

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3. 正切函数是奇函数， $f (x) = \tan (x^{2} + 2)$ 是正切函数，因此 $f (x) = \tan (x^{2} + 2)$ 是奇函数，以上推理（）

A、结论正确 B、大前提不正确 C、小前提不正确 D、以上均不正确

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4. 甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）

A、0.42 B、0.12 C、0.18 D、0.28

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5. 随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且 $c = \frac{1}{2} a b$ ，

$X$

2

4

6

$P$

a

b

c

则 $P (X = 2) =$ （）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{21}$

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6. 已知函数 $f (x) = (2 x - a) e^{x}$ ，且 $f' (1) = 3 e$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x - y - 1 = 0$ C、 $x - 3 y + 1 = 0$ D、 $x + 3 y + 1 = 0$

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7. 六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有（）

A、 $180$ 种 B、 $240$ 种 C、 $360$ 种 D、 $720$ 种

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8. 某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去.”丙说：“是丁去了.”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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9. 某导弹发射的事故率为0.001，若发射10次，记出事故的次数为 $ξ$ ，则 $D ξ =$ （）

A、0.0999 B、0.001 C、0.01 D、0.00999

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10. ${(x^{4} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{5}$ 项的系数为（）

A、160 B、210 C、120 D、252

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11. 某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为（）

A、64 B、81 C、36 D、100

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + \ln x (a \in R)$ 有两个不相同的零点，则a的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{e}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{e})$ D、 $(e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知复数 $(a + i) (1 - i)$ 是纯虚数，则实数 $a =$ .

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14. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (4, σ^{2})$ ， $P (X < 6) = 0.78$ ，则 $P (X \leq 2) =$ ．

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15. 若 $x = 1$ 是函数 $f (x) = (x^{2} + a x - 5) e^{x}$ 的极值点，则 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最小值为.

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16. 某技术学院为了让本校学生毕业时能有更好的就业基础，增设了平面设计、工程造价和心理咨询三门课程.现在有6名学生需从这三门课程中选择一门进修，且每门课程都有人选，则不同的选择方法共有种（用数学作答）.

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三、解答题

17. 某周末，郑州方特梦幻王国汇聚了八方来客.面对该园区内相邻的两个主题公园“千古蝶恋”和“西游传说”，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同.某统计机构对园区内的100位游客（这些游客只在两个主题公园中二选一）进行了问卷调查.调查结果显示，在被调查的50位成年人中，只有10人选择“西游传说”，而选择“西游传说”的未成年人有20人.

附参考公式与表： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （ $n = a + b + c + d$ ）.

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

(1)、根据题意，请将下面的

2 \times 2

列联表填写完整；

	选择“西游传说”	选择“千古蝶恋”	总计
成年人
未成年人
总计

(2)、根据列联表的数据，判断是否有

99 %

的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.

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18. 某中学学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动.

(1)、求这2人来自两个不同年级的概率；

(2)、设 $X$ 表示选到三年级学生的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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19. 已知 $\frac{1}{1} ， \frac{1}{1 + 2} ， \frac{1}{1 + 2 + 3} ， \dots ， \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + n} ， \dots$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、计算 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， S_{4}$ ；

(2)、猜想 $S_{n}$ 的表达式，并用数学归纳法进行证明.

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20. 某工厂生产某种型号的电视机零配件，为了预测今年

7

月份该型号电视机零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度

1

月份至

6

月份该型号电视机零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价

x

（单位：元）和销售量

y

（单位：千件）之间的

6

组数据如下表所示：

月份	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
销售单价 $x$ （元）	$8.8$	$9.1$	$9.4$	$10.2$	$11.1$	$11.4$
销售量 $y$ （千件）	$3.2$	$3.1$	$3$	$2.8$	$2.5$	$2.4$

(1)、根据1至6月份的数据，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；

(2)、结合（1）中的线性回归方程，假设该型号电视机零配件的生产成本为每件2元，那么工厂如何制定

7

月份的销售单价，才能使该月利润达到最大（计算结果精确到0.1）？

参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ .

参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 605.82 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 168.24$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - 2 a x$ .

(1)、若 $a = \frac{3}{2}$ ，求 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、若 $a = 1$ ， $g (x) = \frac{1}{e^{x}} + x^{2} - 2 x - \frac{2}{e x} - 1$ ，证明： $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) - g (x) > 0$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ ： ${\begin{array}{l} x = 2 \cos θ \\ y = \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线 $l$ ： ${\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 2 - t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、判断直线l与曲线C的位置关系；

(2)、点P是曲线C上的一个动点，求P到直线l的距离的最大值.

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ .

(1)、证明： $\sqrt{2 a + 3} + \sqrt{a + 4} > \sqrt{2 a + 7} + \sqrt{a}$ .

(2)、证明： $a^{2} + b \sqrt{a b} \geq a \sqrt{a b} + a b$ .

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$X$	2	4	6
$P$	a	b	c