浙江省绍兴市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 2$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、5 B、7 C、9 D、11

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2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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3. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ ， $\vec{B E} = \vec{E C}$ ，则（）

A、 $\vec{A E} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{A E} = \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $\vec{A E} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$

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4. 已知a，b， $c \in R$ ，且 $a > b$ ， $c > 0$ ，则（）

A、 $a c > b c$ B、 $a c < b c$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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5. 已知a， $b \in R$ ，若关于x的不等式 $x^{2} + a x + b \geq 0$ 的解集为 $R$ ，则（）

A、 $a^{2} - b \geq 0$ B、 $a^{2} - b \leq 0$ C、 $a^{2} - 4 b \geq 0$ D、 $a^{2} - 4 b \leq 0$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a \cos B + b \cos A = 2 c \cos C$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} - \vec{a} | = | \vec{a} |$ ，则（）

A、 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $(2 \vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{a}$ C、 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ D、 $(2 \vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{b}$

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8. 设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{6}$ ， $S_{3}$ ， $S_{9}$ 成等差数列，则（）

A、 $a_{5}$ ， $a_{2}$ ， $a_{8}$ 成等差数列 B、 $a_{5}$ ， $a_{2}$ ， $a_{8}$ 成等比数列 C、 $a_{2}$ ， $a_{8}$ ， $a_{5}$ 成等差数列 D、 $a_{2}$ ， $a_{8}$ ， $a_{5}$ 成等比数列

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9. 已知a，b是正实数，且 $a + b = 2$ ，则 $\frac{a^{2}}{a + 2} + \frac{b^{2} + 2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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10. 已知a， $b \in R$ ，且 $a \neq 0$ ，若对 $x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $| a x + b | + | a x - b | \leq 2$ 恒成立，则 $| a + 2 b | - | a - 2 b |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

11. 不等式 $\frac{x}{x - 1} < 0$ 的解集为

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12. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ , $\cos 2 α = - \frac{7}{9}$ ,则 $\cos α =$ .

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13. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列, $a_{1} = 2$ , $a_{4} + a_{2} = a_{3} + 6$ ,则 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} =$ .

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14. 中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为里．

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15. 已知等边三角形 $A B C$ 的边长为2，点P在边 $A B$ 上，点Q在边 $A C$ 的延长线上，若 $| \vec{C Q} | = | \vec{B P} |$ ，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P Q}$ 的最小值为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足: $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} - 1, a_{n} \geq a_{1}, \\ 2 a_{n}, a_{n} < a_{1}, \end{array}$ 其中 $n \in N^{*}$ ,若 $1 < a_{5} < 2$ ,则 $a_{1}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ , $\vec{b} = (- 1, 2)$ .

(1)、求 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 的坐标;

(2)、求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ .

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18. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ , $\cos α = \frac{4}{5}$ .

(1)、求 $\sin 2 α$ 的值;

(2)、求 $\sin (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{5}$ ， $A C ⊥ A D$ ， $A C = 2 A D$ .

(1)、若 $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，求 $A C$ ；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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20. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} + a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) \geq 2 x + 2$ ；

(2)、若对 $x \in [- a ， 1 - a]$ ，不等式 $f (x) \leq x^{2} + 1 - | x^{2} - 1 |$ 恒成立，求a的取值范围.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ , $a_{2} = 10$ , $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n}$ , $n \in N^{*}$ .

(1)、证明:数列 ${a_{n + 1} + a_{n}}$ 是等比数列;

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;

(3)、证明: $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{4}$ .

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