浙江省湖州市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在直角坐标系中，直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $30^{°}$ B、 $45^{°}$ C、 $60^{°}$ D、 $90^{°}$

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2. 向量 $\overset{⇀}{a} = (2, x)$ ， $\overset{⇀}{b} = (6, 8)$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，则实数x的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $- \frac{8}{3}$

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3. 圆心为 $(1, - 1)$ 且过原点的圆的一般方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 1 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 1 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = 0$

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4. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ．已知 $a = 5$ ， $b = 7$ ， $c = 8$ ，则 $A + C =$ （）

A、 $90^{°}$ B、 $120^{°}$ C、 $135^{°}$ D、 $150^{°}$

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5. 若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是（）

A、1 B、－2 C、1或－2 D、 $- \frac{3}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1, 3)$ ，则（）

A、 $f (4) > f (0) > f (1)$ B、 $f (1) > f (0) > f (4)$ C、 $f (0) > f (1) > f (4)$ D、 $f (1) > f (4) > f (0)$

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7. 已知 ${a_{n}}$ 是公差d不为零的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列，则（）

A、 $a_{1} d > 0, d S_{4} > 0$ B、 $a_{1} d < 0, d S_{4} < 0$ C、 $a_{1} d > 0, d S_{4} < 0$ D、 $a_{1} d < 0, d S_{4} > 0$

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8. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ，则 $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 与 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 的夹角等于（）

A、 $150^{°}$ B、 $90^{°}$ C、 $60^{°}$ D、 $30^{°}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $| a_{n} - a_{n - 1} | = n^{2}$ （ $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ ），且数列 ${a_{2 n - 1}}$ 是递增数列，数列 ${a_{2 n}}$ 是递减数列，又 $a_{1} > a_{2}$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、 $- 5050$ B、 $5050$ C、 $- 4950$ D、 $4950$

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10. 设 $a \in R$ ，若不等式 $| x^{2} + \frac{1}{x} | + | x^{2} - \frac{1}{x} | + a x \geq 4 x - 8$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 12]$ B、 $[- 2 ， 10]$ C、 $[- 4 ， 4]$ D、 $[- 4 ， 12]$

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二、双空题

11. 已知点 $A (0, 1)$ ， $B (3, 2)$ ，向量 $\overset{⇀}{A C} = (- 4, - 3)$ ，则向量 $\overset{⇀}{A B} =$ ，向量 $\overset{⇀}{B C} =$ ．

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12. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ．若 $b \sin A = a \sin C$ ， $c = 1$ ， $B = \frac{π}{6}$ ，则 $b =$ ， $a =$ ．

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13. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \\ 3 x - y - 3 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 2 x - y$ 的最大值是，满足条件的实数 $x ， y$ 构成的平面区域的面积等于．

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14. 已知 $P (- 2, 5)$ 在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + m = 0$ 上，直线 $l$ ： $3 x + 4 y + 8 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ ，则实数m= ， $\overset{⇀}{B C} \cdot \overset{⇀}{A B} =$ ．

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三、填空题

15. 已知 $a > 0, b > 0, a b = 8$ ，则 $\log_{2} a \cdot \log_{2} (2 b)$ 的最大值是．

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16. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为

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17. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0$ （ $a, b \in R$ ）在区间 $[1 ， 3]$ 有实根，则 $a^{2} + {(b - 2)}^{2}$ 最小值是．

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四、解答题

18. 已知直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1．

(1)、求直线l的方程；

(2)、若直线l与圆C：（x-a）²+（y+a）²=5相切，求实数a的值．

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项为正数， $S_{n}$ 为其前n项的和， $a_{3} = 8$ ， $S_{3} = 14$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 是首项为1，公差为3的等差数列，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式及其前n项的和 $T_{n}$ ．

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20. 如图所示， $Δ A B C$ 是边长为 $1$ 的正三角形，点 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ 四等分线段 $B C$ ．
（Ⅰ）求 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A P_{1}} + \overset{⇀}{A P_{1}} \cdot \overset{⇀}{A P_{2}}$ 的值；
（Ⅱ）若点 $Q$ 是线段 $A P_{3}$ 上一点，且 $\overset{⇀}{A Q} = \frac{1}{12} \overset{⇀}{A B} + m \overset{⇀}{A C}$ ，求实数 $m$ 的值．

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21. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ．已知 $\overset{⇀}{m} = (a, c - 2 b)$ ， $\overset{⇀}{n} = (\cos C, \cos A)$ ，且 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{n}$ ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若 $| \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} | = 2$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + n + 1$ （ $n \in N^{*}$ ）．
（Ⅰ）求 $a_{2}, a_{3}$ 的值，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{3}{2} - \frac{1}{2^{n}} \leq T_{n} < 2$ （ $n \in N^{*}$ ）．

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