浙江省杭州市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 5}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 ${1, 5}$ B、 ${3, 4}$ C、 ${3, 5}$ D、 ${1, 2, 3, 4, 5}$

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2. 设函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、－4 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、4

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3. 函数 $y = 2^{x} - \frac{1}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, 2)$

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4. 已知 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 6, \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 2$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 若 $\cos (\frac{π}{6} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、－ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6. 为了得到函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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7. 设 $a \in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + 1 \geq 0$ 在区间 $[1, 2]$ 上有解，则（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \geq \frac{5}{2}$ D、 $a \leq \frac{5}{2}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，若 $\sin A \sin B = \cos^{2} \frac{C}{2}$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ， $(n + 1) S_{n} = (6 n + 18) T_{n}$ ．若 $\frac{a_{n}}{b_{n}} \in Z$ ，则n的取值集合为（）

A、 ${1, 2, 3}$ B、 ${1, 2, 3, 4}$ C、 ${1, 2, 3, 5}$ D、 ${1, 2, 3, 6}$

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10. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + 1 (x \leq 0) \\ | \lg x | (x > 0) \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) - a f (x) + 2 = 0$ 恰有 $6$ 个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）

A、 $(2 ， 2 \sqrt{2})$ B、 $(2 \sqrt{2} ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(2 \sqrt{2} ， 4)$

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二、双空题

11. 向量 $\overset{⇀}{a} = (m, 1), \overset{⇀}{b} = (1, - 3)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $m =$ ； $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | =$ ．

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12. 函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的最小正周期为；单调递增区间为．

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13. 质点 $P$ 的初始位置为 $P_{1} (\sqrt{3}, 1)$ ，它在以原点为圆心，半径为2的圆上逆时针旋转150°到达点 $P_{2}$ ，则质点 $P$ 经过的弧长为；点 $P_{2}$ 的坐标为（用数字表示）．

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14. 设数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列．若 $a_{1} + a_{5} + a_{9} = π$ ，则 $\cos (a_{2} + a_{8}) =$ ；若 $b_{n} > 0$ ，且 $b_{5} b_{6} + b_{4} b_{7} = 4$ ，则 $b_{1} b_{2} \dots b_{10} =$ ．

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三、填空题

15. 若函数 $f (x) = \sin 2 x + a \cos 2 x$ ， $x \in R$ 的图像关于 $x = - \frac{π}{6}$ 对称，则 $a =$ ．

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $\log_{4} a = \log_{6} b = \log_{9} (a + b)$ ，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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17. 设向量 $l$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{c} | = 3$ ， $\overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} = 0$ ．若 $- 1 \leq λ \leq 2$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + λ \overset{⇀}{b} + (1 - λ) \overset{⇀}{c} |$ 的最大值是．

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四、解答题

18. 已知集合 $A = {x | - 4 + a < x < 4 + a}$ ， $B = {x | x \leq - 1$ 或 $x > 5}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = R$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知公差不为 $0$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ．若 $a_{5}$ ， $a_{2}$ ， $a_{1}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{n - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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20. 设函数 $f (x) = \cos x \sin (x + \frac{π}{6}) (x \in R)$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ ；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 $2 a \cos B + b = 2 c$ .

(1)、求角A的度数；

(2)、当 $a = 2$ 时，求 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C}$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 3 x + 4 (a > 0)$ ．

(1)、若 $y = f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最小值为 $\frac{5}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若存在实数m，b使得 $y = f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上单调且值域为 $[m, n]$ ，求a的取值范围．

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