广东省韶关市2018-2019学年高一下学数学期末检测试卷

试卷更新日期：2020-06-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 - 2 x > 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${x | x < \frac{1}{2}}$ B、 ${x | x > \frac{1}{2}}$ C、 ${x | x \leq \frac{1}{2}}$ D、 ${x | x \geq \frac{1}{2}}$

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2. 已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）

A、5，5 B、3，5 C、3，7 D、5，7

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4. 若直线y＝﹣x+1的倾斜角为 $α$ ，则 $cos α = ()$

A、 $- 1$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 在 $Δ O A B$ 中， $P$ 为线段 $A B$ 上的一点， $\overset{⇀}{O P} = x \overset{⇀}{O A} + y \overset{⇀}{O B}$ ，且 $\overset{⇀}{B P} = 2 \overset{⇀}{P A}$ ，则（）

A、 $x = \frac{2}{3}$ ， $y = \frac{1}{3}$ B、 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = \frac{2}{3}$ C、 $x = \frac{1}{4}$ ， $y = \frac{3}{4}$ D、 $x = \frac{3}{4}$ ， $y = \frac{1}{4}$

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6. 已知 $tan (π - α) = - \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{\cos (- α) + 3 \sin (π + α)}{\cos (π - α) + 9 \sin α} = \frac{\cos α - 3 \sin α}{- \cos α + 9 \sin α} = \frac{1 - 3 \tan α}{- 1 + 9 \tan α} = - \frac{1}{5}$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{7}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{3}{7}$

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7. 已知x，y的线性回归直线方程为 $\hat{y} = 0.82 x + 1.27$ ，且x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为（）

A、变量x，y之间呈现正相关关系 B、可以预测，当 $x = 5$ 时， $\hat{y} = 5.37$ C、 $m = 2.09$ D、由表格数据可知，该回归直线必过点 $(1.5 ， 2.5)$

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8. 把函数 $y = \sin x$ 的图像上所有的点向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）

A、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ C、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$

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9. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：

① $A F$ 与 $C N$ 平行；② $B M$ 与 $A N$ 是异面直线；③ $A F$ 与 $B M$ 成60°角；④ $B N$ 与 $D E$ 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）

A、①②③ B、②④ C、③④ D、②③④

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10. 已知直线 $x + y = a$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于A、B两点，O是坐标原点，向量 $\overset{⇀}{O A}$ 、 $\overset{⇀}{O B}$ 满足 $| \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} | = | \overset{⇀}{O A} - \overset{⇀}{O B} |$ ，则实数a的值是（）

A、2 B、-2 C、 $\sqrt{6}$ 或 $- \sqrt{6}$ D、2或-2

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11. 若函数 $f (x) = \lg (x - 1) + \lg (3 - x) - \lg (a - x)$ 只有一个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $1 < a \leq 3$ 或 $a = \frac{13}{4}$ B、 $3 \leq a < \frac{13}{4}$ C、 $a \leq 1$ 或 $a = \frac{13}{4}$ D、 $a > \frac{13}{4}$

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二、填空题

12. 如果奇函数f（x）在[3，7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）在[-7，-3]上是.
①减函数且最小值是-5； ②减函数且最大值是-5；

③增函数且最小值是-5； ④增函数且最大值是-5

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13. 已知点 $A (2, 1)$ ，点 $B (5, - 1)$ ，则 $| A B | =$ ．

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (3 ， - 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (x ， 2)$ ，若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 共线，则实数x= ．

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15. 从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中，任取两张，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为．

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16. 下列命题：
①函数 $y = \cos (- 2 x)$ 的最小正周期是 $π$ ；②在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (a ， b)$ ，将向量 $\overset{⇀}{O P}$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到向量 $\overset{⇀}{O Q}$ ，则点 $Q$ 的坐标是 $(- b ， a)$ ；③在同一直角坐标系中，函数 $y = \cos x$ 的图象和函数 $y = x$ 的图象有两个公共点；④函数 $y = \sin (x - \frac{π}{2})$ 在 $[0 ， π]$ 上是增函数．

其中，正确的命题是（填正确命题的序号）．

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三、解答题

17. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = \sqrt{2}$ ，且向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $θ$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ；

(2)、若 $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{a}$ 垂直，求 $θ$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + \frac{π}{3}) (A > 0 ， ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，且该函数图象上的最低点的纵坐标为-3．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间及对称轴方程．

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19. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $P$ 为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证：直线 $B D_{1} ∥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；

(3)、求直线 $C P$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 所成的角的正切值．

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20. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在 $[100 ， 150)$ ， $[150 ， 200)$ ， $[200 ， 250)$ ， $[250 ， 300)$ ， $[300 ， 350)$ ， $[350 ， 400]$ （单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．

(1)、估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；

(2)、现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；

(3)、某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；

方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．

通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．

参考数据： $7 \times 125 + 15 \times 175 + 20 \times 225 + 30 \times 275 + 25 \times 325 + 3 \times 375 = 25500$ ．

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21. 已知圆C与圆D： ${(x - 2 \sqrt{2})}^{2} + {(y + 2 \sqrt{2})}^{2} = 4$ 关于直线 $l_{1} ： x - y - 2 \sqrt{2} = 0$ 对称．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、已知点 $R (1 ， - 1)$ ，若与直线 $l_{1}$ 垂直的直线l与圆C交于不同两点O、A，且 $∠ P R Q$ 是钝角，求直线l在y轴上的截距的取值范围．

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22. 已知定义域为R的函数 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1 + m$ 在 $[1 ， 2]$ 上有最大值1，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ ．

(1)、求m的值；

(2)、若不等式 $f (\log_{3} x) - 2 k {log}_{3} x \geq 0$ 在 $x \in [3 ， 9]$ 上恒成立，求实数k的取值范围；

(3)、若函数 $h (x) = (| e^{x} - 1 |) \cdot f (| e^{x} - 1 |) - 3 k (| e^{x} - 1 |) + 2 k$ 有三个不同的零点，求实数k的取值范围（e为自然对数的底数）．

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