广东省梅州市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ， $B = {x | - 1 < x < 3}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \supseteq B$ C、 $A \subseteq B$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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2. $\sin 45^{\circ} \sin 75^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 15^{\circ} =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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3. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $ab< b^{2}$ C、 ${ac}^{2} < b c^{2}$ D、 $a^{2} > a b > b^{2}$

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4. 某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）

A、月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B、月跑步平均里程逐月增加 C、月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D、1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳

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5. 已知 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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6. 数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{7} = 8 a_{4}$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、 $\frac{31}{16}$ B、 $\frac{15}{8}$ C、7 D、31

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7. 某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（）

A、 $x = 8$ B、甲得分的方差是736 C、乙得分的中位数和众数都为26 D、乙得分的方差小于甲得分的方差

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8. 已知 $a, b$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ∥ α$ ， $a ∥ b$ ，则 $b ∥ α$ B、若 $a ∥ α$ ， $a ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ∥ b$

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9. 如图，两个正方形 $A B C D$ 和 $A D E F$ 所在平面互相垂直，设 $M$ 、 $N$ 分别是 $B D$ 和 $A E$ 的中点，那么：① $A D ⊥ M N$ ；② $M N //$ 平面 $C D E$ ；③ $M N // C E$ ；④ $M N$ 、 $C E$ 异面.其中不正确的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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10. 如图，正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A_{1} D$ 与 ${BD}_{1}$ 所成角的正弦值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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11. 已知 $a$ ， $b \in R^{+}$ 且 $a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 5$ ，则 $a + b$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 4]$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(4 ， + \infty)$

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12. 设定义域为R的奇函数 $f (x)$ 是增函数，若 $f (\cos^{2} θ - 2 m) + f (2 m \sin θ - 2) < 0$ 对 $θ \in R$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $(1 - \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $[1 - \sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$

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二、填空题

13. 不等式 $\frac{x - 1}{x + 3} \geq 0$ 的解集是.

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14. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3$ ，则 $S_{5} =$ .

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15. 从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人到一个单位实习，余下的两人到另一单位实习，则甲、乙两人不在同一单位实习的概率为.

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16. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，所有棱长均为2，O是底面正方形 $A B C D$ 中心，E为 $P C$ 中点，则直线 $O E$ 与直线 $P D$ 所成角的余弦值为.

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三、解答题

17. 单调递增的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}, a_{2} + 1, 2 a_{3} + 3$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组[0，5)，第二组[5，10)，第三组[10，15)，第四组[15，20)，第五组[20，25]，绘制了频率分布直方图如下图所示。已知第三组的频数是第五组频数的3倍。

(1)、求 $a$ 的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；

(2)、现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”。经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率。

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19. 在△ABC中，已知 $\sqrt{3} a sin C - c (2 + cos A) = 0$ ，其中角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ．求

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{6}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\sin B + \sin C$ 的值．

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20. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S市的A区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设分店的个数，y表示这个x个分店的年收入之和.

(参考公式： $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ )

(1)、该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$

(2)、假设该公司在A区获得的总年利润z(单位：百万元)与x，y之间的关系为 $z = y - 0.05 x^{2} - 1.4$ ，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大?

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21. 如图， $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点为O，四边形 $D C E F$ 为梯形， $E F // D C$ ， $F D = F B$ ．

(1)、若 $D C = 2 E F$ ，求证： $O E //$ 平面 $A D F$ ；

(2)、求证：平面 $A F C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、若 $A B = F B = 2 ， A F = 3 ， ∠ B C D = 60^{°}$ ，求直线 $A F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n + 2} - 4 (n \in N^{*})$ ，函数 $f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x) + f (1 - x) = 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = f (0) + f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + \dots + f (\frac{n - 1}{n}) + f (1)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ， $T_{n}$ 是数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正实数 $k$ ，使不等式 $k (n^{2} - 9 n + 26) T_{n} > 4 n c_{n}$ 对于一切的 $n \in N^{*}$ 恒成立？若存在请求出 $k$ 的取值范围；若不存在请说明理由．

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