广东省揭阳市普宁市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2, - 1, 1, 2}$ ， $B = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 2}$ B、 ${- 2, - 1, 1}$ C、 ${- 2, 2}$ D、 ${2}$

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2. 有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \lg x, & x > 0 \\ 10^{x}, & x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ （）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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4. 下列函数中，值域为 $[0 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \cos x$

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5. 根据如下样本数据

x

3

4

5

6

7

8

y

4.0

2.5

-0.5

0.5

-2.0

-3.0

可得到的回归方程为 $\overset{\land}{y} = b x + a$ ，则（）

A、 $a > 0 ， b < 0$ B、 $a > 0 ， b > 0$ C、 $a < 0 ， b < 0$ D、 $a < 0 ， b > 0$

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6. 矩形ABCD中， $\vec{A B} = (- 3, 1)$ ， $\vec{B C} = (- 2, k)$ ，则实数k=（）

A、-16 B、-6 C、4 D、 $\frac{2}{3}$

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7. 把函数 $y = \cos x$ 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，则所得图形对应的函数解析式为（）

A、 $y = \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ B、 $y = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ C、 $y = \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{8})$ D、 $y = \cos (2 x + \frac{π}{2})$

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8. 《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斜稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）

A、57.08斜 B、171.24斛 C、61.73斛 D、185.19斛

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9. 已知直线 $y = 2 x + m$ 与圆C相切于点 $(- 2, - 1)$ ，且圆C的圆心在y轴上，则圆C的标准方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 17$ B、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 13$ C、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$

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10. 如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为 $\frac{4}{3}$ ，则该正方体的外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $15 π$ C、 $16 π$ D、 $10 π$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x$ ， $g (x) = \ln x + x$ ， $h (x) = \sqrt{x} + x$ 的零点分别为a，b，c，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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12. 已知 $y = f (x) + \cos π x$ 是奇函数，且 $f (2019) = 1$ .若 $g (x) = f (x) + 2$ ，则 $g (- 2019) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知 $α \in (π, \frac{3 π}{2})$ , $\tan α = 2$ ,则 $\cos α =$ .

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14. 直线 $y = x + 2 \sqrt{2}$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{2} y - 2 = 0$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ .

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15. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $y = \log_{a} (x + 1) + 1$ 的图像恒经过定点A，若函数 $f (x) = x^{2} - b (2 x + 1)$ 的图象也经过点A，则 $f (x)$ 的单调递增区间为.

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16. 如图，C是以AB为直径的半圆周上一点，已知在半圆内任取一点，该点恰好在 $△ A B C$ 内部的概率为 $\frac{1}{π}$ ，则 $△ A B C$ 的较小的内角为.

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三、解答题

17. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{a x}{x^{2} + 1}$ ， $(x \in R)$ ，

(1)、证明： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、如果方程 $f (x) = 1$ 只有一个实数解，求a的值.

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18. 已知函数 $f (x) = - 2 \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ ， $x \in R$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，求 $f (x)$ 的最大值和最小值，并写出相应的x的值.

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19. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中， $A B // C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $C D = 2 A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：

(1)、 $P A //$ 平面BEF；

(2)、平面 $B E F ⊥$ 平面PCD．

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20. 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）

(1)、A类工人中和B类工人各抽查多少工人？

(2)、从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：

表1：

生产能力分组	$[100 ， 110)$	$[110 ， 120)$	$[120 ， 130)$	$[130 ， 140)$	$[140 ， 150)$
人数	4	8	x	5	3

表2：

生产能力分组	$[110 ， 120)$	$[120 ， 130)$	$[130 ， 140)$	$[140 ， 150)$
人数	6	y	36	18

①先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）

图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x + 1} + a}{2^{x} + 1}$ ， $g (x) = 1 - f (- x)$ ，且 $g (x)$ 是R上的奇函数，

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数 $g (x)$ ）的单调性（不必说明理由），并求不等式 $g (2 x - 1) + g (x) > 0$ 的解集；

(3)、若不等式 $f (x) > b \cdot g (x)$ 对任意的 $x \in [0, 3]$ 恒成立，求实数b的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} - m x - 14 y + 60 = 0$ ，三个点 $A (2, 4)$ ，B、C均在圆 $O_{1}$ 上，

(1)、求该圆的圆心 $O_{1}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{O A} = \vec{B C}$ ，求直线BC的方程；

(3)、设点 $T (0, t)$ 满足四边形TABC是平行四边形，求实数t的取值范围.

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x	3	4	5	6	7	8
y	4.0	2.5	-0.5	0.5	-2.0	-3.0