广东省惠州市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $Δ A B C$ 三个内角A、B、C的对边分别是 $a 、 b 、 c$ ，若 $C = 90^{\circ} ， B = 30^{\circ} ， c = 6$ ，则b等于（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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2. 已知 $Δ A B C$ 三个内角A、B、C的对边分别是 $a 、 b 、 c$ ，若 $A = 120 ° ， b = 3 ， c = 8 ，$ 则 $Δ A B C$ 的面积等于（）

A、6 B、 $6 \sqrt{3}$ C、12 D、 $12 \sqrt{3}$

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3. 从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为 $25 %$ ，则N为（）

A、120 B、200 C、100 D、150

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} a_{7} = 64$ ，则 $a_{5}$ 的值为（）

A、 $8$ B、 $\pm 8$ C、 $4$ D、 $16$

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5. 已知 $Δ A B C$ 三个内角A、B、C的对边分别是 $a 、 b 、 c$ ，若 $b = 2 a \sin B$ ，则A等于（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $60^{\circ} 或 120^{\circ}$ D、 $30^{\circ} 或 150^{\circ}$

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6. 一条直线经过点 $A (2 ， - \sqrt{3})$ ，并且它的倾斜角等于直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 倾斜角的2倍，则这条直线的方程是（）

A、 $2 \sqrt{3} x - 3 y - 7 \sqrt{3} = 0$ B、 $\sqrt{3} x - y - 3 \sqrt{3} = 0$ C、 $x - y - \sqrt{3} = 0$ D、 $x - \sqrt{3} y - 3 \sqrt{3} = 0$

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7. 若 $a ， b ， c \in R$ 且 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a | c | > b | c |$ D、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$

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8. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，则不等式 $f (a^{2} - 4) > f (3 a)$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 4)$ C、 $(1 ， 4)$ D、 $(0 ， 4)$

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9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 3 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 3 \sqrt{2}$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $C D$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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10. 不等式 $\frac{x + 5}{{(x - 1)}^{2}} \geq 2$ 的解集是（ )

A、 $[- 3 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[- \frac{1}{2} ， 3]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1) \cup^{} (1 ， 3]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， 1) \cup^{} (1 ， 3]$

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11. 点 $(3 ， 4)$ 关于直线 $x - y + 6 = 0$ 的对称点的坐标为（）

A、 $(4 ， 3)$ B、 $(2 ， - 9)$ C、 $(- 4 ， - 3)$ D、 $(- 2 ， 9)$

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12. 在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯．这首古诗描述的浮屠，现称宝塔．本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有（）

A、12 B、24 C、48 D、96

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二、填空题

13. 已知球的表面积为4 $π$ ，则该球的体积为．

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14. 如图，长方体 $O A B C - D' A' B' C'$ 中， $| O A | = 3$ ， $| O C | = 4$ ， $| O D^{'} | = 5$ ， $A^{'} C^{'}$ 与 $B^{'} D^{'}$ 相交于点P，则点P的坐标为．

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15. 已知 $x > \frac{5}{4}$ ，函数 $y = 4 x - 2 + \frac{1}{4 x - 5}$ 的最小值为．

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16. 已知 $M = {(x ， y) | y = \sqrt{9 - x^{2}} ， y \neq 0}$ ， $N = {(x ， y) | y = x + b}$ ，若 $M \cap N \neq \emptyset$ ，则 $b$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 4$ ， $a_{4} + a_{7} = 15$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n} - 2} + n$ ，求 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \cdot \cdot \cdot + b_{10}$ 的值．

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18. 已知锐角 $Δ A B C$ 三个内角A、B、C的对边分别是 $a 、 b 、 c$ ，且 $2 a \sin B = \sqrt{3} b$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{21}, b + c = 5$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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19. 某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价 $x$ 元

9

9.2

9.4

9.6

9.8

10

销量 $y$ 件

100

94

93

90

85

78

附：对于一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，…… $(x_{n}, y_{n})$ ，

其回归直线 $\hat{y} = b x + a$ 的斜率的最小二乘估计值为 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \cdot \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot \bar{x}^{2}}$ ；

本题参考数值： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 5116, \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} - 6 \bar{x}^{2} = 0.7$ ．

(1)、若销量y与单价x服从线性相关关系，求该回归方程；

(2)、在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润。

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20. 如图所示，在梯形 $A B C D$ 中， $A D$ ∥ $B C$ ， $A B$ ⊥ $B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $P A$ ⊥平面 $A B C D$ ， $C D$ ⊥ $P C$ ．

(1)、证明： $C D$ ⊥平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = A D$ ，求点 $B$ 到平面 $P A C$ 的距离．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = \frac{n^{2} + 2 n + λ}{2}$ ．
（Ⅰ）当 $λ = 2$ 时，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

（Ⅱ）当 $λ = 0$ 时，令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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22. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $B$ ： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ．

(1)、求两圆的公共弦长；

(2)、过平面上一点 $Q (x_{0}, y_{0})$ 向圆O和圆B各引一条切线，切点分别为 $C, D$ ，设 $\frac{| Q D |}{| Q C |} = 2$ ，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值．

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单价 $x$ 元	9	9.2	9.4	9.6	9.8	10
销量 $y$ 件	100	94	93	90	85	78