广东省佛山市顺德区2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{O A} = (3, 2)$ ， $\vec{A B} = (- 5, 2)$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(1, 7)$ B、 $(- 2, 4)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(5, 3)$

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2. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（）

A、 $\frac{1}{2019}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2020}$ D、 $\frac{2019}{2020}$

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3. 下列结论正确的是（）．

A、若 $a c < b c$ ，则 $a < b$ B、若 $a^{2} < b^{2}$ ，则 $a < b$ C、若 $a > b$ ， $c < 0$ ，则 $a c < b c$ D、若 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ ，则 $a > b$

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4. 不等式 $\log_{2} (x^{2} - 4 x + 5) < 1$ 的解集为（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(- 3, - 1)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $a \cos A - b \cos B = 0$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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6. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $A = 45 °$ ， $a = 2$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则B为（）

A、 $60 °$ B、 $60 °$ 或 $120 °$ C、 $30 °$ D、 $30 °$ 或 $150 °$

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = - 24$ ， $a_{18} + a_{19} + a_{20} = 78$ ，则此数列前 $20$ 项和等于（）．

A、 $160$ B、 $180$ C、 $200$ D、 $220$

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8. 已知x､y的取值如下表:

x

0

1

3

4

y

2.2

4.3

4.8

6.7

从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程 $y = 0.95 x + a$ ，则当 $x = 5$ 时，估计y的值为（）

A、7.1 B、7.35 C、7.95 D、8.6

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9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且有 $a_{4} a_{6} = 4 a_{7}^{2}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 某中学高一年级甲班有7名学生，乙班有8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是82，若从成绩在 $[80 ， 90)$ 的学生中随机抽取两名学生，则两名学生的成绩都高于82分的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $M 、 N$ 分别是 $B C 、 C D$ 的中点，若 $\overset{⇀}{A C} = λ \overset{⇀}{A M} + μ \overset{⇀}{B N} ，$ 则 $λ + μ =$ （）

A、 $2$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{8}{5}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n}, a_{n + 1}$ 是函数 $f (x) = x^{2} - b_{n} x + 2^{n}$ 的两个零点，则 $b_{10}$ 等于（）

A、24 B、32 C、48 D、64

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二、填空题

13. 某单位共有200名职工参加了50公里徒步活动，其中青年职工与老年职工的人数比为 $10 : 1$ ，中年职工有24人，现采取分层抽样的方法抽取50人参加对本次活动满意度的调查，那么应抽取老年职工的人数为人.

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14. 在 $△ A B C$ 中，两直角边和斜边分别为a，b，c，若 $a + b = c x$ 则实数x的取值范围是.

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15. 一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔 $P$ 的南偏西 $75 °$ 距塔64海里的 $M$ 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的 $N$ 处,则这只船的航行速度为海里/小时．

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16. 已知点P是矩形ABCD边上的一动点， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C P}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (x, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 3)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影；

(2)、求 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{2} a - \vec{b})$ .

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 7$ ， $S_{6} = 63$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = 2 \log_{2} a_{n} + 1$ ，求 ${a_{n + 1} b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的面积为 $\frac{7 π}{3}$ ，且 $\sin C - \sqrt{3} \cos C = 0$ .

(1)、求边长c；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 随着互联网的不断发展，手机打车软件APP也不断推出.在某地有A､B两款打车APP，为了调查这两款软件叫车后等候的时间，用这两款APP分别随机叫了50辆车，记录了候车时间如下表：

A款软件：

候车时间(分钟)	$[0 ， 2]$	$(2 ， 4]$	$(4 ， 6]$	$(6 ， 8]$	$(8 ， 10]$	$(10 ， 12]$
车辆数	2	12	8	12	14	2

B款软件：

候车时间(分钟)	$[0 ， 2]$	$(2 ， 4]$	$(4 ， 6]$	$(6 ， 8]$	$(8 ， 10]$	$(10 ， 12]$
车辆数	2	10	28	7	2	1

(1)、试画出A款软件候车时间的频率分布直方图，并估计它的众数及中位数；

(2)、根据题中所给的数据，将频率视为概率

（i）能否认为B款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率达到了75%以上？

（ii）仅从两款软件的平均候车时间来看，你会选择哪款打车软件？

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21. 设二次函数 $f (x) = x^{2} + m x$ .

(1)、若对任意实数 $m \in [0, 1]$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求实数x的取值范围；

(2)、若存在 $x_{0} \in [- 3, 4]$ ，使得 $f (x_{0}) \leq - 4$ 成立，求实数m的取值范围.

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22. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 2$ ，且数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = (2 n - 3) \cdot 2^{n} + 3$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{8 n}{a_{n}^{2} \cdot a_{n + 1}^{2}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证: $T_{n} < 1$ .

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x	0	1	3	4
y	2.2	4.3	4.8	6.7