广东省东莞市2018-2019学年高一下学期数学期末教学质量检查试卷

试卷更新日期：2020-06-18 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. $\cos 420 °$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
2. 在空间直角坐标系中，点 $P (- 1,2,3)$ 关于平面 $y o z$ 对称的点的坐标为（）

A、 $(- 1, - 2,3)$ B、 $(- 1, - 2, - 3)$ C、 $(1,2,3)$ D、 $(1,2, - 3)$

查看试题解析
3. 某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均数是84，乙班学生成绩的中位数是83，则 $x + y$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

查看试题解析
4. 执行如图所示的程序框图，若输入 $k = 3$ ，则输出S=（）

A、13 B、15 C、40 D、46

查看试题解析
5. 已知 $θ \in (0, π), sin 2 θ = - \frac{24}{25}$ ，则 $sin θ - cos θ =$ （）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $- \frac{7}{5}$ C、 $\pm \frac{7}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

查看试题解析
6. 矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6， A D = 4$ ，若在该矩形内随机投一点P，那么使得 $Δ A B P$ 的面积不大于3的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
7. 已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（）

A、 $\sin 2$ B、 $2 \sin 2$ C、 $\sin 1$ D、 $2 \sin 1$

查看试题解析
8. 已知在 $Δ A B C$ 中，P为线段 $A B$ 上一点，且 $\overset{⇀}{B P} = 3 \overset{⇀}{P A}$ ，若 $\overset{⇀}{C P} = x \overset{⇀}{C A} + y \overset{⇀}{C B}$ ，则 $x + 2 y =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

查看试题解析
9. 圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 与圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = a$ 恰有三条公切线，则实数 $a$ 的值是（）

A、4 B、6 C、16 D、36

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (x \in R, ω > 0)$ 相邻两个零点之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，所得的函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的一个值可能是（）

A、 $π$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $- \frac{π}{4}$

查看试题解析
11. 如图，已知边长为 $a$ 的正三角形 $A B C$ 内接于圆O，D为 $B C$ 边中点，E为 $B O$ 边中点，则 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{D E}$ 为（）

A、 $- \frac{1}{8} a^{2}$ B、 $- \frac{1}{4} a^{2}$ C、 $- \frac{3}{8} a^{2}$ D、 $- \frac{1}{2} a^{2}$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ 在 $x = - \frac{π}{6}$ 时取最大值，在 $x = \frac{π}{3}$ 是取最小值，则以下各式：① $f (0) = 0$ ；② $f (\frac{π}{2}) = 0$ ；③ $f (\frac{2 π}{3}) = 1$ 可能成立的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析

二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (x, - 1)$ ，向量 $\vec{b} = (1, 2)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 垂直，则x= ．

查看试题解析
14. 某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下的表格：

甲

乙

丙

平均数

250

240

240

方差

15

15

20

根据表中数据，该中学应选参加比赛．

查看试题解析
15. 若 $\tan α = - 3$ ，则 $\frac{1}{\sin 2 α + \cos^{2} α} =$ ．

查看试题解析
16. 过直线 $l : y = k x - 1$ 上一点 $P$ 作圆 $C : x^{2} + 2 x + y^{2} - 4 y + 1 = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，若 $∠ A P B$ 的最大值为 $90 °$ ，则实数k= ．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知角 $α$ 的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点 $P$ 的坐标是 $(- 1,2)$ .

(1)、求 $\sin α, \tan α$ ；

(2)、求 $\frac{2 \sin (π - α) - \sin (\frac{π}{2} - α)}{\sin (2 π - α) + \cos (π + α)}$ ；

查看试题解析
18. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ，向量 $\overset{⇀}{b}$ 为单位向量，向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、若向量 $\overset{⇀}{a}$ 与向量 $\overset{⇀}{b}$ 共线，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 与 $\overset{⇀}{a}$ 垂直，求 $\cos 2 θ$ .

查看试题解析
19. 东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在 $[20 ， 70]$ 之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：

(1)、求频率分布直方图中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数 $\bar{x}$ 和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

(2)、为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.
①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：

年龄

$[20，30)$

$[30，40)$

$[40，50)$

$[50，60)$

$[60，70]$

人数

②若从年龄在 $[30，50)$ 的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在 $[30，40)$ 的概率.

查看试题解析

20. 东莞市公交公司为了方便广大市民出行，科学规划公交车辆的投放，计划在某个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车的间隔时间

x

与乘客等候人数y之间的关系，选取一天中的六个不同的时段进行抽样调查，经过统计得到如下数据：

间隔时间（ $x$ 分钟）	8	10	12	14	16	18
等候人数（ $y$ 人）	16	19	23	26	29	33

调查小组先从这6组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 $\hat{y}$ ，再求 $\hat{y}$ 与实际等候人数y的差，若两组差值的绝对值均不超过1，则称所求的回归方程是“理想回归方程”.

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 $\hat{y} = \dot{\hat{b} x} + \hat{a}$ 的系数公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n • \bar{x} • \bar{y}}{{\sum_{i = 1}^{n} x}_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，

(1)、若选取的是前4组数据，求y关于x的线性回归方程

y = \hat{b} x + a

；

(2)、判断（1）中的方程是否是“理想回归方程”：

(3)、为了使等候的乘客不超过38人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少分钟？

查看试题解析

21. 已知函数 $f (x) = \sin ω x \cos ω x + \sqrt{3} \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + m$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上有两个零点，求实数m的取值范围.

查看试题解析
22. 已知圆心在x轴的正半轴上，且半径为2的圆C被直线 $y = \sqrt{3} x$ 截得的弦长为 $\sqrt{13}$ .

(1)、求圆C的方程；

(2)、设动直线 $y = k (x - 2)$ 与圆C交于 $A ， B$ 两点，则在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线 $A N$ 与直线 $B N$ 关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

查看试题解析

年龄	$[20，30)$	$[30，40)$	$[40，50)$	$[50，60)$	$[60，70]$
人数

	甲	乙	丙
平均数	250	240	240
方差	15	15	20