广东省潮州市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列函数中，最小正周期为 $π$ 的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \cos x$ C、 $y = \sin \frac{1}{2} x$ D、 $y = \cos 2 x$

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2. 在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A B} = (2, 4)$ ， $\overset{⇀}{A C} = (1, 3)$ ，则 $\overset{⇀}{B C} =$ （）

A、 $(3, 7)$ B、 $(3, 5)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(- 1, - 1)$

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3. 要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为（）

A、①随机抽样法，②系统抽样法 B、①分层抽样法，②随机抽样法 C、①系统抽样法，②分层抽样法 D、①②都用分层抽样法

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4. 若角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、不存在

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5. 甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 将 $y = \sin 2 x$ 的图像怎样移动可得到 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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7. 如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为 ${\bar{x}}_{A}$ 和 ${\bar{x}}_{B}$ ，样本标准差分别为 $s_{A}$ 和 $s_{B}$ ，则（）

A、 ${\bar{x}}_{A} > {\bar{x}}_{B} ， s_{A} > s_{B}$ B、 ${\bar{x}}_{A} < {\bar{x}}_{B} ， s_{A} > s_{B}$ C、 ${\bar{x}}_{A} > {\bar{x}}_{B} ， s_{A} < s_{B}$ D、 ${\bar{x}}_{A} < {\bar{x}}_{B} ， s_{A} < s_{B}$

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8. 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量，它们的夹角为 $60 °$ ，那么 $| \vec{a} - 3 \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{13}$ D、4

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9. 设D为 $Δ A B C$ 所在平面内一点，若 $\overset{⇀}{B C} = 3 \overset{⇀}{C D}$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{A D} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} \overset{⇀}{- \frac{1}{3} A C}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1$ ，且 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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二、填空题

11. 已知扇形的圆心角为 $\frac{3}{2} r a d$ ，半径为 $6 c m$ ，则扇形的弧长为 $c m$ .

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12. 某单位为了了解用电量 $y$ 度与气温 $x^{\circ} C$ 之间的关系，随机统计了某 $4$ 天的用电量与当天气温.

气温（℃）

14

12

8

6

用电量（度）

22

26

34

38

由表中数据得回归直线方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{b} x + \overset{\land}{a}$ 中 $\overset{\land}{b} = - 2$ ，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为.

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13. 下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．

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14. 已知sin $(α + \frac{π}{6})$ ＝ $\frac{1}{3}$ ，则cos $(\frac{2 π}{3} - 2 α)$ ＝．

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三、解答题

15. 设 $\overset{⇀}{a} = (- 1, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (4, 3)$ ， $\overset{⇀}{c} = (5, - 2)$ .

(1)、若 $(\overset{⇀}{a} + t \overset{⇀}{b}) ∥ \overset{⇀}{c}$ ，求实数t的值；

(2)、若 $(\overset{⇀}{a} + t \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{c}$ ，求实数t的值.

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16. 已知 $\cos θ = - \frac{12}{13}$ ， $θ \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，求 $\tan (θ - \frac{π}{4})$ 的值．

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17. 某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：

组号	分组	频数	频率
第1组	[50，60)	5	0.05
第2组	[60，70)	$a$	0.35
第3组	[70，80)	30	$b$
第4组	[80，90)	20	0.20
第5组	[90，100]	10	0.10
合计		100	1.00

（Ⅰ）求 $a 、 b$ 的值；

（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率．

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18. 在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，E为 $B C$ 的中点.

(1)、用 $\overset{⇀}{A D}$ 和 $\overset{⇀}{A B}$ 表示 $\overset{⇀}{A E}$ ；

(2)、求 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B D}$ 的值.

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19. 如图所示，函数 $y = 2 cos (ω x + θ) (x \in R ， ω > 0.0 \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 的图象与y轴交于点 $(0 ， \sqrt{3})$ ，且该函数的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $θ$ 和 $ω$ 的值；

(2)、已知点 $A (\frac{π}{2} ， 0)$ ，点 $P$ 是该函数图象上一点，点 $Q (x_{0} ， y_{0})$ 是 $P A$ 的中点，当 $y_{0} = \frac{\sqrt{3}}{2} ， x_{0} \in [\frac{π}{2} ， π]$ 时，求 $x_{0}$ 的值.

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气温（℃）	14	12	8	6
用电量（度）	22	26	34	38