2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏模拟卷）（三）

试卷更新日期：2020-06-18 类型：高考模拟

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。

1. 复数 $\frac{2}{1 - i}$ 的模为。

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2. 设集合M={x|2≤x＜5}，N={xlx²-4x<0}，则集合M∩N=。

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3. 函数f（x）= $\sqrt{e^{x} - 1}$ 的定义域为。

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4. 从2021年起，江苏考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成。等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%。现采用分层抽样的方法，从参加物理等级性考试的学生中抽取500人作为样本，则该样本中获得B或C等级的学生人数为。

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5. 全国新冠病毒疫情过后，医护工作者小王可以从周二到周六任意选两天调整休息，则小王选的两天不相邻的概率为。

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6. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a>0，b>0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线的离心率为。

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7. 把一个棱长均为4的实心金属正六棱柱熔化后浇铸为n个棱长均为2 $\sqrt{6}$ 的正四棱锥，则n的值为。（注：不考虑损耗）

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8. 某银行开发出一套网银验证程序，验证规则如下：（1）有两组数字，这两组数字存在一种对应关系：第一组数字a，b，c对应于第二组数字2a+b，c+2b，a+3c；（2）进行验证时程序在电脑屏幕上依次显示产生第二组数字，用户要计算出第一组数字后依次输入电脑，只有准确输入方能进入，其流程图如图，试问用户应输入a，b，c的和为。

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9. 已知函数f（x）=2cos（2x+φ）（-π<φ<0）的图象经过点（0，1），若f（ $\frac{3 a + π}{6}$ ）= $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ （0<α< $\frac{π}{2}$ ），则cosα=。

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10. 设a，b，c均为正数，且e^a=-lna，e^-b=-lnb，e^-c=lnc，则a，b，c按从小到大的顺序排列为。

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11. 若正实数x，y满足x+y= $\sqrt{y^{2} + 1}$ ，则2x+y的最小值为。

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12. 在△ABC中，AB=4，AC=2BC，点P满足 $\vec{P B}$ =3 $\vec{A P}$ ，点D在△ABC所在的平面内，且满足AD=BD，若λ<| $\vec{P C}$ + $\vec{P D}$ |恒成立，则实数λ的取值范围为。

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13. 已知函数f（x）满足f（x+ $\frac{1}{2}$ ）=-f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=1-l2x-1|，若函数g（x）=f（x）-log_a|x|有6个不同的零点，则实数a的取值范围为。

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14. 已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，若集合M={n|n（n+1）≥t（a_n+1），n∈N^*}中有3个元素，则实数t的取值范围是。

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二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 在△ABC中，bsinA+ $\sqrt{3}$ acosB= $\sqrt{3}$ a。

(1)、求角B的大小；

(2)、设函数f（x）=sinxsin（x+ $\frac{3}{4}$ B），若 $\frac{π}{4}$ <a< $\frac{3 π}{4}$ ，且f（ $\frac{a}{2}$ ）= $\frac{7 \sqrt{2}}{12}$ ，求tanα。

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16. 如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为棱AB的中点。

(1)、求证：平面CDB₁⊥平面ABB₁A₁；

(2)、求证：AC₁∥平面CDB₁。

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17. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点A（ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $\sqrt{2}$ ）在椭圆C上，且△F₁AF₂的面积为 $\sqrt{2}$ 。

(1)、求椭圆C的方程。

(2)、设直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，O为坐标原点，判断在y轴上是否存在点E，使∠OEB=∠OED。若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

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18. 如图，某湿地公园为矩形ABCD，内有一半圆形湖，湖的直径AB为1km，BC长为2km。某人从人口A处出发，渡船沿直线AF（F在线段BC上且不与B，C重合）到达边界点E，后沿着折线E-F-C骑行到达C。若渡船的速度是骑行的3倍，∠BAE=θ。

(1)、用θ表示AE和折线E-F-C的长，并求θ的取值范围；

(2)、当sinθ为多少时，从A处出发到达C处的时间最短？

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19. 已知数列{a_n}各项均为正数，a₁=1，数列{a_2n-1}是公比为2的等比数列，且a_2n ， a_2n+1 ， a_2n+2成等差数列，公差为d_n。

(1)、若d₁= $\frac{1}{2}$ ，求d₂的值；

(2)、若{d_n}为递增数列，求a₂的取值范围。

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20. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2}$ mx²-lnx-1，f'（x）是f（x）的导函数。

(1)、当m=0时，求f（x）的单调减区间；

(2)、若f（x）存在两个不同的零点x₁ ， x₂。
①求实数m的取值范围；

②求证：f'（x₁）+f'（x₂）<0。

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三、附加题（本题包括21、22、23共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

21. 已知矩阵A= $[\begin{array}{l} \begin{matrix} \begin{matrix} 2 \end{matrix} & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & - 1 \end{matrix} \end{array}]$ ，B= $[\begin{array}{l} \begin{matrix} - 1 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 & 4 \end{matrix} \end{array}]$ ，若点M在矩阵AB对应的变换下得到点M'（6，-1），求点Ｍ的坐标。

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 2 t \end{cases}$ ，（t为参数）。以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ。

(1)、写出直线l的普通方程和曲线C的参数方程；

(2)、若点A在直线l上，点B在曲线C上，求|AB|的最大值。

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23. 已知f（x）=2^x ，若f（2a）+f（3b）+f（4c）=6，求2a+3b+4c的最大值。

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24. 口袋里装有大小相同的小球8个，其中红色球3个，黄色球3个，蓝色球2个。第一次从口袋里任意取球一个，记下颜色后放回口袋，第二次再任意取球一个，记下颜色后放回口袋，规定取到红色球记1分，取到黄色球记2分，取到蓝色球记3分．第一次与第二次取到球的得分之和为ξ。

(1)、当ξ为何值时，其发生的概率最小？请说明理由；

(2)、求随机变量ξ的数学期望E（ξ）。

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25. 已知f（n）= $\sum_{k = 0}^{n} \frac{C_{n}^{k}}{(k + 2) (k + 1)}$ 。

(1)、求f（n）关于n的表达式；

(2)、求证：当1≤n≤2020时，f（n）< $\frac{2^{2022}}{2021^{2}}$ 。

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