上海市宝山区2019-2020学年九年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-06-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $a b - b = a$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 $a^{3} \div a^{2} = a$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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2. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x - k = 0$ 有实数根，则 $k$ 的值的范围是（）

A、 $k > - 1$ B、 $k \geq - 1$ C、 $k < - 1$ D、 $k \leq - 1$

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3. 为备战奥运会，甲、乙、丙、丁四位优秀短跑选手参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是10.3秒，但他们成绩的方差分别是0.020、0.019、0.021、0.022（单位：秒²）则这四人中发挥最稳定的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（）

A、菱形 B、矩形 C、等腰梯形 D、平行四边形

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5. 如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、2

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6. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

7. 2020的相反数是.

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8. 计算： $(m - n) (m + n)$ ．

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9. 分解因式： $a^{2} - 4 a + 4 =$ ．

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10. 方程 $x + \sqrt{x - 1} = 1$ 的解是．

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11. 一组数据3、12、8、12、20、9的众数为．

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12. 一个不透明的盒子中装有9个大小相同的乒乓球，其中3个是黄球，6个是白球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率是．

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13. 若抛物线y＝（x﹣m）²+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为．

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14. 如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点B，则k的值是．

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15. 在平行四边形 $A B C D$ 中，如果 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{A C} =$ ， $\vec{B C} =$ ．（用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）

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16. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠B，并且 $A D ： A C = 1 ： \sqrt{3}$ ，那么 $A D ： B D =$ ．

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17.
如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为．

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18. 如图，在△ABC中，AB=AC=5， $\tan B = \frac{3}{4}$ ，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到 $Δ A_{1} B C_{1}$ ，当点 $C_{1}$ 在线段CA延长线上时 $Δ A B C_{1}$ 的面积为．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{\cot 45 °}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - 2 \cos 45 ° + {(- \frac{1}{3})}^{- 1}$

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20. 解方程： $\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x+1} =1$

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21. 已知：如图，⊙O与⊙P相切于点 $A$ ，如果过点 $A$ 的直线 $B C$ 交⊙O于点 $B$ ，交⊙P点 $C$ ， $O D$ ⊥ $A B$ 于点 $D$ ， $P E$ ⊥ $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、求 $\frac{D E}{B C}$ 的值：

(2)、如果⊙O和⊙P的半径比为 $3 ： 5$ ，求 $\frac{A B}{A C}$ 的值．

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22. 在抗击新冠状病毒战斗中，有152箱公共卫生防护用品要运到 $A$ 、 $B$ 两城镇，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其中用大货车运往 $A$ 、 $B$ 两城镇的运费分别为每辆800元和900元，用小货车运往 $A$ 、 $B$ 两城镇的运费分别为每辆400元和600元．

(1)、求这15辆车中大小货车各多少辆？

(2)、现安排其中10辆货车前往 $A$ 城镇，其余货车前往 $B$ 城镇，设前往 $A$ 城镇的大货车为 $x$ 辆，前往 $A$ 、 $B$ 两城镇总费用为 $y$ 元，试求出 $y$ 与 $x$ 的函数解析式．若运往 $A$ 城镇的防护用品不能少于100箱，请你写出符合要求的最少费用．

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23. 如图， $E 、 F$ 分别是正方形 $A B C D$ 的边 $D C 、 C B$ 的中点，以 $A E$ 为边作正方形 $A E H G$ ， $H E$ 与 $B C$ 交于点 $Q$ ，联结 $A Q 、 D F$ ．

(1)、求证： $A E ⊥ D F$ ；

(2)、设 $S_{Δ C E Q} = S_{1} ， S_{Δ A E D} = S_{2} ， S_{Δ E A Q} = S_{3} ，$ ，求证 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} ﹣ 2 a x ﹣ 3 a (a > 0)$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线 $l$ ： $y = k x + b$ 与 $y$ 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且 $C D = 4 A C$ ．

(1)、直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．

(2)、点E为直线l下方抛物线上一点，当 $△ A D E$ 的面积的最大值为 $\frac{25}{4}$ 时，求抛物线的函数表达式；

(3)、设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

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25. 如图，已知：在直角 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $M$ 在边 $B C$ 上，且 $A B = 12 ， B M = 4 ，$ 如果将 $Δ A B M$ 沿 $A M$ 所在的直线翻折，点 $B$ 恰好落在边 $A C$ 上的点 $D$ 处，点 $O$ 为 $A C$ 边上的一个动点，联结 $O B$ ，以 $O$ 圆心， $O B$ 为半径作⊙ $O$ ，交线段 $A B$ 于点 $B$ 和点 $E$ ，作 $∠ B O F = ∠ B A C$ 交⊙ $O$ 于点 $F$ ， $O F$ 交线段 $A B$ 于点 $G$ ．

(1)、求点 $D$ 到点 $B$ 和直线 $A B$ 的距离

(2)、如果点 $F$ 平分劣弧 $B E$ ，求此时线段 $A E$ 的长度

(3)、如果 $Δ A O E$ 为等腰三角形，以 $A$ 为圆心的⊙ $A$ 与此时的⊙ $O$ 相切，求⊙ $A$ 的半径

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